Zadanie maturalne nr 13, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Aby obliczyć współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą należy rozwiązać układ równań:

\(\begin{cases}y=4x^2-7x+1\\x-y-2=0\end{cases}\)

Podstawiamy wartość \(y\) do drugiego równania i otrzymujemy:

\(x-(4x^2-7x+1)-2=0\)

\(x-4x^2+7x-1+2=0\)

\(-4x^2+8x-3=0\)

\(\Delta=64-4\cdot (-4)\cdot (-3)=16\)

\(x_1=\frac{-8-4}{-8}=\frac{3}{2}\)

\(x_2=\frac{-8+4}{-8}=\frac{1}{2}\)

Zatem:

Wyznaczmy \(y\) z drugiego równania:

\(-y=-x+2\)

\(y=x-2\)

\(y_1=\frac{3}{2}-\frac{4}{2}=-\frac{1}{2}\)

\(y_2=\frac{1}{2}-\frac{4}{2}=-\frac{3}{2}\)

Otrzymaliśmy współrzędne punktów:

\(A=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})\)

\(B=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})\)

Zauważmy, że prosta \(l\) ma równanie \(y=x-2\), której współczynnik kierunkowy \(a=1\). Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kata jej nachylenia i ponieważ tangens przyjmuje wartość 1 dla kąta 45°, to nachylenie prostej \(AC\) do osi \(0x\) jest równe \(\alpha+45°\).

Policzmy tangens tego kąta, korzystając z tangensa sumy kątów:

\(tg(\alpha+45°)=\frac{tg{\alpha}+tg{45°}}{1-tg{\alpha} \cdot tg{45°}}=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}\cdot 1}=2\)

Prosta \(AC\) ma więc równanie:

\(y=2(x-\frac{1}{2})-\frac{3}{2}\)

Obliczmy długość odcinka \(AB\).

\(|AB|=\sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2}\)

Środek okręgu ma współrzędne

\(x_s=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{2}=1\)

\(y_s=\frac{-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-1\)

Promień tego okręgu wynosi: \(r=\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Zatem równanie okręgu jest następujące:

\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\)

Punkt \(C\) leży na przecięciu prostej \(AC\) i okręgu. Rozwiązujemy więc układ:

\(\begin{cases}(x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\\y=2(x-\frac{1}{2})-\frac{3}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\\y=2x-1-\frac{3}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-1)^2+(2x-\frac{5}{2}+1)^2=\frac{1}{2}\\y=2x-\frac{5}{2}\end{cases}\)

Dalej rozwiązujemy równanie:

\((x-1)^2+(2x-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2}\)

\(x^2-2x+1+4x^2-4\cdot \frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=0\)

\(x^2-2x+1+4x^2-6x+\frac{7}{4}=0\)

\(5x^2-8x+\frac{11}{4}=0/\cdot 4\)

\(20x^2-32x+11=0\)

\(\Delta=32^2-4\cdot20\cdot 11=1024-880=144\)

\(x_1=\frac{32-12}{40}=\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{32+12}{40}=\frac{11}{10}\)

Obliczamy (\y\) z równania \(y=2x-\frac{5}{2}\):

\(y_1=-\frac{3}{2}\)

\(y_2=-\frac{3}{10}\)

Zauważmy że w pierwszym przypadku otrzymaliśmy punkt \(A\), bo on także leży na przecięciu prostej z okręgiem.

W ten sposób znaleźliśmy współrzędne punktu \(C\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-07-22, ZAD-4949

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne