Logo Media Nauka

Facebook

Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Teoria Jeżeli jedno z równań lub nierówności układu równań (układu nierówności) jest drugiego stopnia, a stopień drugiego równania lub nierówności nie jest większy od 2, to układ taki nazywamy układem drugiego stopnia

Przykład Przykład

Oto kilka przykładów układów równań (nierówności) drugiego stopnia:
\begin{cases}5x^2-4y^2+xy+5x-5y+6=0\\x-y=1\end{cases}\\{\begin{cases}5x^2-4y^2\geq{0}\\2x-y^2=1\end{cases}}\\{\begin{cases}xy+x-y\leq{0}\\x^2-y^2\geq{-1}\end{cases}}

Teoria Najczęściej układy tego typu rozwiązujemy metodą podstawiania.

Rozwiązać taki układ, to znaczy znaleźć wszystkie pary liczb, które są jednocześnie rozwiązaniem jednego, jak i drugiego równania (nierówności) lub wykazać, że układ nie ma rozwiązań

Interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań (nierówności) są punkty wspólne (ich współrzędne spełniają układ) wykresów każdego z równań (nierówności) tego układu.

Przykład Przykład

Rozwiążemy dla przykładu układ równań:
\begin{cases}x^2+y^2=8\\x=y\end{cases}\\{\begin{cases}x^2+x^2=8\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}2x^2=8\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}x^2=4\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}x=2\\x-y=1\end{cases}\vee\begin{cases}x=-2\\x-y=1\end{cases}}\\{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\vee\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}}

Zatem układ ma dwa rozwiązania. Są to pary liczb (2,2) oraz (-2,-2). Wykresy obu równań powinny się przecinać właśnie w tych punktach. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu o środku S(0,0) i promieniu\sqrt{8}=2\sqrt{2}, wykresem drugiego równania jest prosta.

Wykres funkcji y=3x

Przykład Przykład

Rozwiążemy teraz graficznie układ:
\begin{cases}y\geq{2x^2-4}\\y\leq{x+1}\end{cases}

Na niebiesko zaznaczono wykres pierwszej nierówności, na czerwono - drugiej. Zakreskowana figura, to graficzne rozwiązanie układu.

Wykres funkcji y=3x

© medianauka.pl, 2009-08-16, ART-278


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Układ równań i nierówności drugiego stopnia

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}:
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) \begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności
\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania


 








Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kubek matematyka pi
Rodzinna matematyka
kolorowe skarpetki matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.