Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Jeżeli jedno z równań lub nierówności układu równań (układu nierówności) jest drugiego stopnia, a stopień drugiego równania lub nierówności nie jest większy od 2, to układ taki nazywamy układem drugiego stopnia

Przykład

Oto kilka przykładów układów równań (nierówności) drugiego stopnia:
$\begin{cases}5x^2-4y^2+xy+5x-5y+6=0\\x-y=1\end{cases}\\{\begin{cases}5x^2-4y^2\geq{0}\\2x-y^2=1\end{cases}}\\{\begin{cases}xy+x-y\leq{0}\\x^2-y^2\geq{-1}\end{cases}}$

Najczęściej układy tego typu rozwiązujemy metodą podstawiania.

Rozwiązać taki układ, to znaczy znaleźć wszystkie pary liczb, które są jednocześnie rozwiązaniem jednego, jak i drugiego równania (nierówności) lub wykazać, że układ nie ma rozwiązań

Interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań (nierówności) są punkty wspólne (ich współrzędne spełniają układ) wykresów każdego z równań (nierówności) tego układu.

Przykład

Rozwiążemy dla przykładu układ równań:
$\begin{cases}x^2+y^2=8\\x=y\end{cases}\\{\begin{cases}x^2+x^2=8\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}2x^2=8\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}x^2=4\\x=y\end{cases}}\\{\begin{cases}x=2\\x-y=1\end{cases}\vee\begin{cases}x=-2\\x-y=1\end{cases}}\\{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\vee\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}}$

Zatem układ ma dwa rozwiązania. Są to pary liczb (2,2) oraz (-2,-2). Wykresy obu równań powinny się przecinać właśnie w tych punktach. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu o środku S(0,0) i promieniu $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ , wykresem drugiego równania jest prosta.

Przykład

Rozwiążemy teraz graficznie układ:
$\begin{cases}y\geq{2x^2-4}\\y\leq{x+1}\end{cases}$

Na niebiesko zaznaczono wykres pierwszej nierówności, na czerwono - drugiej. Zakreskowana figura, to graficzne rozwiązanie układu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać graficznie układ nierówności
$\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.