Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi


Dla jakich wartości parametru m układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}:
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases} \\ x^2+(3x+m)^2=4 \\ x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0 \\ 10x^2+6mx+m^2-4=0
\Delta=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\\ =36m^2-40m^2+160=-4m^2+160
Układ nie posiada rozwiązań jeśli:
\Delta<0 \\ -4m^2+160< 0/:(-4) \\ m^2-40>0 \\ (m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3
Rysunek pomocniczy
m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)
Układ posiada jedno rozwiązanie jeśli:
\Delta=0 \\ -4m^2+160=0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\\ m_1=2\sqrt{10},\\ m_2=-2\sqrt{10}

Układ posiada dwa rozwiązania jeśli:

\Delta>0 \\ -4m^2+160> 0/:(-4) \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3
Rysunek pomocniczy
m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})
Nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zastosujemy metodę podstawienia. Drugie równanie wstawiamy do pierwszego:

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases} \\ x^2+(3x+m)^2=4 \\ x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0 \\ 10x^2+6mx+m^2-4=0 tło tło

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu:

10x^2+6mx+m^2-4 \\ a=10 \\ b=6m \\ c=m^2-4 \\ \Delta=b^2-4ac=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\\ =36m^2-40m^2+160=-4m^2+160

Jeżeli wyróżnik jest ujemny, wówczas równanie nie posiada rozwiązań, jeśli jest równy zeru, posiada jedno rozwiązanie, jeśli jest większe od zera, posiada dwa rozwiązania. Ponieważ drugim równaniem układu równań jest funkcja liniowa, tyle ile posiada rozwiązań pierwsze równanie, tyle będzie posiadał rozwiązań układ równań. Zatem:

Układ nie posiada rozwiązań jeśli:

\Delta<0 \\ -4m^2+160< 0/:(-4) \\ m^2-40>0 \\ (m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3

Rysunek pomocniczy

m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)

Układ posiada jedno rozwiązanie jeśli:

\Delta=0 \\ -4m^2+160=0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\\ m_1=2\sqrt{10},\\ m_2=-2\sqrt{10}

Układ posiada dwa rozwiązania jeśli:

\Delta>0 \\ -4m^2+160> 0/:(-4) \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3

Rysunek pomocniczy

m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})

Ponadto nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ równań mógł mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Można to wywnioskować w następujący sposób: wykresem pierwszego równania jest okrąg, wykresem drugiego równania jest prosta. Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów wspólnych obu wykresów. Możliwe są jednak tylko przypadki, w których wykresy nie mają punktów wspólnych, wykresy maja jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do okręgu) i wykresy mogą mieć dwa wspólne punkty (gdy prosta przecina okrąg). Więcej przypadków nie ma.

ksiązki Odpowiedź

Układ równań:
a) nie ma rozwiązania dla m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10}),
b) posiada jedno rozwiązanie dla m=2\sqrt{10} \ lub \  m=-2\sqrt{10},
c) posiada dwa rozwiązania dla m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10}).
d) Nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-581





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.