Logo Media Nauka

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Dla jakich wartości parametru m układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}:
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases} \\ x^2+(3x+m)^2=4 \\ x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0 \\ 10x^2+6mx+m^2-4=0
\Delta=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\\ =36m^2-40m^2+160=-4m^2+160
Układ nie posiada rozwiązań jeśli:
\Delta<0 \\ -4m^2+160< 0/:(-4) \\ m^2-40>0 \\ (m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3
Rysunek pomocniczy
m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)
Układ posiada jedno rozwiązanie jeśli:
\Delta=0 \\ -4m^2+160=0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\\ m_1=2\sqrt{10},\\ m_2=-2\sqrt{10}

Układ posiada dwa rozwiązania jeśli:

\Delta>0 \\ -4m^2+160> 0/:(-4) \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3
Rysunek pomocniczy
m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})
Nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zastosujemy metodę podstawienia. Drugie równanie wstawiamy do pierwszego:

\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases} \\ x^2+(3x+m)^2=4 \\ x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0 \\ 10x^2+6mx+m^2-4=0 tło tło

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu:

10x^2+6mx+m^2-4 \\ a=10 \\ b=6m \\ c=m^2-4 \\ \Delta=b^2-4ac=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\\ =36m^2-40m^2+160=-4m^2+160

Jeżeli wyróżnik jest ujemny, wówczas równanie nie posiada rozwiązań, jeśli jest równy zeru, posiada jedno rozwiązanie, jeśli jest większe od zera, posiada dwa rozwiązania. Ponieważ drugim równaniem układu równań jest funkcja liniowa, tyle ile posiada rozwiązań pierwsze równanie, tyle będzie posiadał rozwiązań układ równań. Zatem:

Układ nie posiada rozwiązań jeśli:

\Delta<0 \\ -4m^2+160< 0/:(-4) \\ m^2-40>0 \\ (m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3

Rysunek pomocniczy

m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)

Układ posiada jedno rozwiązanie jeśli:

\Delta=0 \\ -4m^2+160=0 \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\\ m_1=2\sqrt{10},\\ m_2=-2\sqrt{10}

Układ posiada dwa rozwiązania jeśli:

\Delta>0 \\ -4m^2+160> 0/:(-4) \\ (m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0 \\ 2\sqrt{10}\appr 6,3

Rysunek pomocniczy

m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})

Ponadto nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ równań mógł mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Można to wywnioskować w następujący sposób: wykresem pierwszego równania jest okrąg, wykresem drugiego równania jest prosta. Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów wspólnych obu wykresów. Możliwe są jednak tylko przypadki, w których wykresy nie mają punktów wspólnych, wykresy maja jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do okręgu) i wykresy mogą mieć dwa wspólne punkty (gdy prosta przecina okrąg). Więcej przypadków nie ma.

ksiązki Odpowiedź

Układ równań:
a) nie ma rozwiązania dla m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10}),
b) posiada jedno rozwiązanie dla m=2\sqrt{10} \ lub \  m=-2\sqrt{10},
c) posiada dwa rozwiązania dla m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10}).
d) Nie ma takiej wartości parametru m, dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-581



Zadania podobne

kulkaZadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) \begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności
\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - układ równań drugiego stopnia
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.