Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązanie zadania

Zastosujemy metodę podstawienia. Drugie równanie wstawiamy do pierwszego:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

\(x^2+(3x+m)^2=4\)

\(x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0\)

\(10x^2+6mx+m^2-4=0\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu:

\(10x^2+6mx+m^2-4\)

\(a=10,\ b=6m,\ c=m^2-4\)

\(\Delta=b^2-4ac=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\)

\(=36m^2-40m^2+160=-4m^2+160\)

Jeżeli wyróżnik jest ujemny, wówczas równanie nie posiada rozwiązań, jeśli jest równy zeru, posiada jedno rozwiązanie, jeśli jest większe od zera, posiada dwa rozwiązania. Ponieważ drugim równaniem układu równań jest funkcja liniowa, tyle ile posiada rozwiązań pierwsze równanie, tyle będzie posiadał rozwiązań układ równań. Zatem:

Układ nie posiada rozwiązań, jeśli:

\(\Delta<0\)

\(-4m^2+160< 0/:(-4)\)

\(m^2-40>0\)

\((m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0\)

\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)

\(m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)\)

Układ posiada jedno rozwiązanie, jeśli:

\(\Delta=0\)

\(-4m^2+160=0\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\)

\(m_1=2\sqrt{10},\ m_2=-2\sqrt{10}\)

Układ posiada dwa rozwiązania, jeśli:

\(\Delta>0\)

\(-4m^2+160> 0/:(-4)\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0\)

\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)

\(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\)

Ponadto nie ma takiej wartości parametru \(m\), dla której układ równań mógł mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Można to wywnioskować w następujący sposób: wykresem pierwszego równania jest okrąg, wykresem drugiego równania jest prosta. Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów wspólnych obu wykresów. Możliwe są jednak tylko przypadki, w których wykresy nie mają punktów wspólnych, wykresy maja jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do okręgu) i wykresy mogą mieć dwa wspólne punkty (gdy prosta przecina okrąg). Więcej przypadków nie ma.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-581

Zadania podobne

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.