Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - układ równań drugiego stopnia


Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Graficzne rozwiązanie to punkty wspólne okręgu o środku S=(2,2) i r=1 oraz prostej y=x+1

Rozwiązanie graficzne układu równań

tło
\begin{cases} x=1 \\ y=x+1 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu. Ma ono postać:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r.

Wykresem równania (x-2)^2+(y-2)^2=1 jest okrąg o środku w punkcie S=(2,2) i o promieniu r=1.

Jeżeli chodzi o drugie równanie, to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x01
y12

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich punkty wspólne, które stanowią rozwiązanie graficzne układu.

Rozwiązanie graficzne układu równań

Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku są to punkty A=(1,2) i B=(2,3). Mimo, iż określiliśmy współrzędne punktów, stanowiących rozwiązanie układu w metodzie graficznej, jest to jednak jedynie przybliżone rozwiązanie. Nie można w ten sposób dokładnie określić współrzędnych. Niemniej jednak bardzo często rozwiązanie graficzne pomaga w znalezieniu wyniku za pomocą rachunków. Znajdźmy to rozwiązanie.

Stosujemy metodę podstawienia:

\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\\ (x-2)^2+(x+1-2)^2=1 \\ (x-2)^2+(x-1)^2=1\\ x^2-4x+4+x^2-2x+1-1=0\\ 2x^2-6x+4=0/:2 \\ x^2-3x+2=0 \\ a=1 \\ b=-3 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=9-8=1\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{2}=1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{2}=2 tło tło

Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x, otrzymując dwa rozwiązania. Mamy więc teraz dwa układy:

\begin{cases} x=1 \\ y=x+1 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=1+1 \end{cases}\ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=2+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}

Zauważmy, że są to współrzędne punktów przecięcia się wykresów równań układu.


© medianauka.pl, 2010-02-04, ZAD-575





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.