Strona główna » Matematyka » Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Zadanie - układ równań drugiego stopnia

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Graficzne rozwiązanie to punkty wspólne okręgu o środku S=(2,2) i r=1 oraz prostej y=x+1

Rozwiązanie graficzne układu równań

$\begin{cases} x=1 \\ y=x+1 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu. Ma ono postać:

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r.

Wykresem równania jest okrąg o środku w punkcie S=(2,2) i o promieniu r=1.

Jeżeli chodzi o drugie równanie, to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x	0	1
y	1	2

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich punkty wspólne, które stanowią rozwiązanie graficzne układu.

Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku są to punkty A=(1,2) i B=(2,3). Mimo, iż określiliśmy współrzędne punktów, stanowiących rozwiązanie układu w metodzie graficznej, jest to jednak jedynie przybliżone rozwiązanie. Nie można w ten sposób dokładnie określić współrzędnych. Niemniej jednak bardzo często rozwiązanie graficzne pomaga w znalezieniu wyniku za pomocą rachunków. Znajdźmy to rozwiązanie.

Stosujemy metodę podstawienia:

$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\\ (x-2)^2+(x+1-2)^2=1 \\ (x-2)^2+(x-1)^2=1\\ x^2-4x+4+x^2-2x+1-1=0\\ 2x^2-6x+4=0/:2 \\ x^2-3x+2=0 \\ a=1 \\ b=-3 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=9-8=1\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{2}=1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{2}=2$ tło

Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x, otrzymując dwa rozwiązania. Mamy więc teraz dwa układy:

$\begin{cases} x=1 \\ y=x+1 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=x+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=1+1 \end{cases}\ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=2+1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$

Zauważmy, że są to współrzędne punktów przecięcia się wykresów równań układu.

Zadania podobne

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$