Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia


Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) \begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}
b) \begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}


ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r. Mamy więc dwa okręgi współśrodkowe o środku w punkcie S=(2,2) i promieniach r1=2 oraz r2=1

W naszym przypadku mamy jednak nierówności. W pierwszym przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku S=(2,2) i promieniu równym lub mniejszym od 2. W drugim przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku S=(2,2) i promieniu równym lub większym od 1.

Rysujemy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):

tło

Poniżej rozwiązanie układu nierówności:

Rozwiązanie graficzne układu nierówności

ksiązki b) Rozwiązanie szczegółowe

Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r. Mamy w pierwszym przypadku okrąg o środku w punkcie S=(1,0) i promieniu r=2, w drugim przypadku (nierówności) okrąg o środku w punkcie S=(-1,0) i promieniu r=2

W naszym układzie mamy jednak nierówności, a nie równania. Możemy je zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku S=(p,q) i promieniu równym lub mniejszym od 2. W efekcie opisujemy koła.

Rysujemy wszystkie wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):

Rozwiązanie graficzne układu nierówności

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-583





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.