Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Rozwiązanie zadania
Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych:
\(xy=1\)
\(xy=1/:x (x\neq 0)\)
\(y=\frac{1}{x}\)
Wykresem równania jest hiperbola. Założyliśmy, że \(x\) jest różne od zera. Gdyby \(x\) było równe zeru, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: \(0=2\). Sporządzamy tabelkę zmienności:
| x | -2 | -1 | -1/2 | 1/2 | 1 | 2 |
| y | -1/2 | -1 | -2 | 2 | 1 | 1/2 |
Jeżeli chodzi o drugie równanie (\(x^2+y^2=4\)), to jego wykresem jest okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu o długości \(2\), zgodnie z równaniem okręgu:
\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu, a \(r\) długością promienia.
Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych.
Mamy cztery punkty wspólne obu wykresów: \(A, B, C, D\). Punkty te stanowią graficzne rozwiązanie układu równań.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty hiperboli spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do okręgu spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym są cztery takie punkty. Odczytanie ich współrzędnych jest jednak trudne Można jedynie podać przybliżone rozwiązanie
\(A\approx (\frac{1}{2}, 1\frac{9}{10}), \ B\approx (1\frac{9}{10}, \frac{1}{2}), \ C\approx (-1\frac{9}{10},-\frac{1}{2}), \ D\approx (-\frac{1}{2}, -1\frac{9}{10})\). Znajdźmy teraz rozwiązanie za pomocą rachunków.
Od razu zastrzegamy przypadek, w którym \(x=0\). Wówczas układ równań nie ma rozwiązania, gdyż drugie równanie jest sprzeczne (\(0=1\)). Zakładamy więc, że \(x\) jest różne od zera i stosujemy metodę podstawienia:
\(\begin{cases}x^2+y^2=4\\ xy=1/:x \ (x\neq 0) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\)
\(x^2+(\frac{1}{x})^2=4\)
\(x^2+\frac{1}{x^2}-4=0\)
\(\frac{x^4}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^2}=0\)
\(\frac{x^4-4x^2+1}{x^2}=0\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru. Otrzymamy równanie dwukwadratowe, które rozwiążemy za pomocą zmiennej pomocniczej.
\(x^4-4x^2+1=0\)
\(t=x^2\)
\(t^2-4t+1=0\)
\(a=1,\ b=-4,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=16-4=12\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\approx 0,268\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\approx 3,732\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(x^2=2-\sqrt{3}\approx 0,268\) lub \(x^2=2+\sqrt{3}\approx 3,732\)
\(x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx 0,52\) lub \(x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx -0,52\) lub \(x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx 1,93\) lub \(x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\approx -1,93\)
Mamy więc następujące 4 układy równań:
\(\begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{x} \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}\ \vee \begin{cases}x=-\sqrt{2+\sqrt{3}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \end{cases}\)
Podamy jeszcze przybliżone wyniki:
\(\begin{cases}x\approx 0,52\\ y\approx 1,93 \end{cases} \vee \begin{cases}x\approx -0,52\\ y\approx -1,93 \end{cases}\) lub \(\begin{cases}x\approx 1,93 \\ y\approx 0,52 \end{cases}\ \vee \begin{cases}x\approx-1,93\\ y\approx -0,52 \end{cases}\)
Zauważmy, że wyniki niewiele różnią się od przybliżonych współrzędnych punktów \(A,B,C,D\), odczytanych na podstawie wykresu.
© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-577
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 6.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.