Nauka » Matematyka » Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia

Przybliżone rozwiązanie układu to $A(1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{3}), \ B(0,0)$ Układ równań nie posiada rozwiązań.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie S=(1,1) i promieniu o długości $\sqrt{2}$ , zgodnie z równaniem okręgu:

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu, a r długością promienia.

Jak narysować promień o takiej długości. Wystarczy sobie przypomnieć, że długość przekątnej w kwadracie to $a\sqrt{2}$ , więc sam pierwiastek z dwóch to przekątna kwadratu o długości 1.

Wykresem drugiego równania jest parabola. Zrobimy tabelkę zmienności funkcji:

x	-1	0	1	-2	2
y	1	0	1	4	4

Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do paraboli drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku są dwa takie punkty, których współrzędne możemy podać w przybliżeniu:

Odpowiedź

$A(1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{3}), \ B(0,0)$

Zadania podobne

Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$