Nauka » Matematyka » Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Podpunkt a)

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia
$\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases} \\ (3+1)^2+(1+1)^2=4 \\ 16+4=4 \\ 20=4$
Układ równań nie posiada rozwiązań.

Podpunkt b)

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases} \\ (3-1)^2+(1-1)^2=4 \\ 4+0=4 \\ 4=4$
A=(3,1)

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres trzech równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie S=(-1,-1) i promieniu o długości 2, zgodnie z równaniem okręgu:

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu, a r długością promienia.

Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi OX, przecinająca oś OY w punkcie (0,1)

Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi OY, przecinająca oś OX w punkcie (3,0)

Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań drugiego stopnia

Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do prostej poziomej spełniają drugie równanie, punkty należące do prostej pionowej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla trzech wykresów spełniają zarówno pierwsze, drugie jak i trzecie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punków, które jednocześnie należałyby do wszystkich wykresów. Układ równań nie ma rozwiązania. Na rysunku widać punkty wspólne dla co najwyżej dwóch wykresów.

Przeprowadźmy teraz rachunki. Ponieważ mamy już wyznaczone wartości x oraz y, wystarczy sprawdzić, czy dla tych wartości zmiennych pierwsze równanie jest prawdziwe. Dokonujemy więc podstawienia:

$\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases} \\ (3+1)^2+(1+1)^2=4 \\ 16+4=4 \\ 20=4$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, stąd wniosek, że układ ten nie ma rozwiązań.

Podpunkt a)

Podobnie jak poprzednio rozwiążemy najpierw układ równań graficznie.

Sporządzimy wykres trzech równań z układu.

Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie S=(1,1) i promieniu o długości 2.

Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi OX, przecinająca oś OY w punkcie (0,1)

Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi OY, przecinająca oś OX w punkcie (3,0)

Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Wyjaśniliśmy to w podpunkcie a). W naszym przypadku jest jeden taki punkt A=(3,1), które jednocześnie należy do wszystkich wykresów.

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases} \\ (3-1)^2+(1-1)^2=4 \\ 4+0=4 \\ 4=4$

Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, stąd wniosek, że A=(3,1) jest rozwiązaniem układu.

Odpowiedź

a) Układ równań nie posiada rozwiązań.
b) Układ równań posiada jedno rozwiązanie, którego graficzną interpretacją jest punkt A=(3,1).

Zadania podobne

Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności
$\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.