Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązanie zadania uproszczone




Układ ma jedno rozwiązanie: A=(2,0) - współrzędne przybliżone
![\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0](matematyka/wzory/zad192/5.gif)








Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Rozpoczniemy od graficznego rozwiązania układu. W tym celu musimy narysować wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych i znaleźć punkty wspólne obu wykresów, które będą spełniać oba równania, a co za tym idzie stanowiły rozwiązanie układu równań
Zacznijmy od pierwszego równania. Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola. Znajdujemy pierwiastki i współrzędne wierzchołka paraboli::

Współrzędne wierzchołka obliczamy ze wzoru:

Podstawiamy odpowiednie wartości:

Ponieważ mamy dopiero jeden punkt paraboli, znajdźmy jeszcze punkt przecięcia się wykresu z osią OY, podstawiając do równania za x liczbę zero. Ponieważ parabola jest symetryczna, znajdziemy łatwo trzeci punkt paraboli.

Można sporządzić wykres paraboli, wcześniej jednak zajmijmy się drugim równaniem
Drugie równanie jest w postaci:

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r. Nasze równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie S=(2,2) i promieniu r=2
Sporządzamy wykresy i zaznaczamy ich wspólne części:

Układ równań wydaje się mieć (rozwiązanie graficzne jest zawsze rozwiązaniem przybliżonym) jedno rozwiązanie: A=(2,0). Sprawdzimy to, rozwiązując układ równań metodą podstawienia.
![\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0](matematyka/wzory/zad192/5.gif)
Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Pierwiastków szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: -1, 1, 2, -2, .... Oznaczamy lewą stronę równania przez W(x) i szukamy miejsca zerowego:

Zgodnie z twierdzeniem Bezout nasz wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian x-2. Wykonujemy więc dzielenie wielomianów:

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Na podstawie wykresu widać, że mamy do czynienia tylko z jednym pierwiastkiem, więc albo wielomian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, albo jest nim liczba 2. Sprawdzamy to:

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu W1(x) przez dwumian x-2:

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Wyrażenie w ostatnim nawiasie można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia:

Zgodnie z nim mamy: x2-4x+22=(x-2)2. Piszemy więc:

Wystarczy teraz podstawić wyliczoną wartość do pierwszego równania aby znaleźć wartość y:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-582
Zadania podobne

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie układ równań

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m układ równań

a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie układ nierówności

Pokaż rozwiązanie zadania

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Pokaż rozwiązanie zadania