Strona główna » Matematyka » Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ \Delta=1-4\cdot \frac{1}{4}=0 \\ x_0=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$x_w=x_0=2\\ y_w=-\frac{0}{4\cdot \frac{1}{4}}=0$
$f(0)=y=\frac{1}{4}\cdot 0-0+1=1$
tło

Układ ma jedno rozwiązanie: A=(2,0) - współrzędne przybliżone
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0$

$W(1)=1-8+24-32+16=1\neq 0 \\ W(-1)=1+8+24+32+16\neq 0\\ W(2)=2^4-8\cdot 2^3+24\cdot 2^2-32\cdot 2+16=16-64+96-64+16=0$

$(x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0):(x-2)=x^3-6x^2+12x-8\\ \underline{x^4-2x^3} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$W_1(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-8=8-24+24-8=0$

$(x^3-6x^2+12x-8):(x-2)=x^2-4x+4\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$(x-2)(x-2)(x-2)^2=0\\ (x-2)^4=0 \\ x=2$
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-2+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozpoczniemy od graficznego rozwiązania układu. W tym celu musimy narysować wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych i znaleźć punkty wspólne obu wykresów, które będą spełniać oba równania, a co za tym idzie stanowiły rozwiązanie układu równań

Zacznijmy od pierwszego równania. Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola. Znajdujemy pierwiastki i współrzędne wierzchołka paraboli::

$y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ a=\frac{1}{4} \\ b=-1 \\ c=1 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot \frac{1}{4}=0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Współrzędne wierzchołka obliczamy ze wzoru:

$x_w=-\frac{b}{2a}\\ y_w=-\frac{\Delta}{2a}$

Podstawiamy odpowiednie wartości:

$x_w=x_0=2\\ y_w=-\frac{0}{4\cdot \frac{1}{4}}=0$

Ponieważ mamy dopiero jeden punkt paraboli, znajdźmy jeszcze punkt przecięcia się wykresu z osią OY, podstawiając do równania za x liczbę zero. Ponieważ parabola jest symetryczna, znajdziemy łatwo trzeci punkt paraboli.

$f(0)=y=\frac{1}{4}\cdot 0-0+1=1$

Można sporządzić wykres paraboli, wcześniej jednak zajmijmy się drugim równaniem

Drugie równanie jest w postaci:

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r. Nasze równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie S=(2,2) i promieniu r=2

Sporządzamy wykresy i zaznaczamy ich wspólne części:

Układ równań wydaje się mieć (rozwiązanie graficzne jest zawsze rozwiązaniem przybliżonym) jedno rozwiązanie: A=(2,0). Sprawdzimy to, rozwiązując układ równań metodą podstawienia.

$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0$

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Pierwiastków szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: -1, 1, 2, -2, .... Oznaczamy lewą stronę równania przez W(x) i szukamy miejsca zerowego:

$W(1)=1-8+24-32+16=1\neq 0 \\ W(-1)=1+8+24+32+16\neq 0\\ W(2)=2^4-8\cdot 2^3+24\cdot 2^2-32\cdot 2+16=16-64+96-64+16=0$

Zgodnie z twierdzeniem Bezout nasz wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian x-2. Wykonujemy więc dzielenie wielomianów:

$(x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0):(x-2)=x^3-6x^2+12x-8\\ \underline{x^4-2x^3} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Na podstawie wykresu widać, że mamy do czynienia tylko z jednym pierwiastkiem, więc albo wielomian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, albo jest nim liczba 2. Sprawdzamy to:

$W_1(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-8=8-24+24-8=0$

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu W₁(x) przez dwumian x-2:

$(x^3-6x^2+12x-8):(x-2)=x^2-4x+4\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

Wyrażenie w ostatnim nawiasie można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia:

Zgodnie z nim mamy: x²-4x+2²=(x-2)². Piszemy więc:

$(x-2)(x-2)(x-2)^2=0\\ (x-2)^4=0 \\ x=2$

Wystarczy teraz podstawić wyliczoną wartość do pierwszego równania aby znaleźć wartość y:

$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-2+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases}$

Odpowiedź

$\begin{cases} x=2\\ y=0 \end{cases}$

Zadania podobne

Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$