Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi


Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ \Delta=1-4\cdot \frac{1}{4}=0 \\ x_0=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
x_w=x_0=2\\ y_w=-\frac{0}{4\cdot \frac{1}{4}}=0
f(0)=y=\frac{1}{4}\cdot 0-0+1=1
tło
Układ ma jedno rozwiązanie: A=(2,0) - współrzędne przybliżone
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0

W(1)=1-8+24-32+16=1\neq 0 \\ W(-1)=1+8+24+32+16\neq 0\\ W(2)=2^4-8\cdot 2^3+24\cdot 2^2-32\cdot 2+16=16-64+96-64+16=0

(x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0):(x-2)=x^3-6x^2+12x-8\\ \underline{x^4-2x^3} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-2)(x^3-6x^2+12x-8)=0

W_1(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-8=8-24+24-8=0

(x^3-6x^2+12x-8):(x-2)=x^2-4x+4\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

(x-2)(x-2)(x^2-4x+4)=0

(x-2)(x-2)(x-2)^2=0\\ (x-2)^4=0 \\ x=2
\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-2+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozpoczniemy od graficznego rozwiązania układu. W tym celu musimy narysować wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych i znaleźć punkty wspólne obu wykresów, które będą spełniać oba równania, a co za tym idzie stanowiły rozwiązanie układu równań

Zacznijmy od pierwszego równania. Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola. Znajdujemy pierwiastki i współrzędne wierzchołka paraboli::

y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ a=\frac{1}{4} \\ b=-1 \\ c=1 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot \frac{1}{4}=0 \\ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2

Współrzędne wierzchołka obliczamy ze wzoru:

x_w=-\frac{b}{2a}\\ y_w=-\frac{\Delta}{2a}

Podstawiamy odpowiednie wartości:

x_w=x_0=2\\ y_w=-\frac{0}{4\cdot \frac{1}{4}}=0

Ponieważ mamy dopiero jeden punkt paraboli, znajdźmy jeszcze punkt przecięcia się wykresu z osią OY, podstawiając do równania za x liczbę zero. Ponieważ parabola jest symetryczna, znajdziemy łatwo trzeci punkt paraboli.

f(0)=y=\frac{1}{4}\cdot 0-0+1=1

Można sporządzić wykres paraboli, wcześniej jednak zajmijmy się drugim równaniem

Drugie równanie jest w postaci:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r. Nasze równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie S=(2,2) i promieniu r=2

Sporządzamy wykresy i zaznaczamy ich wspólne części:

tło

Układ równań wydaje się mieć (rozwiązanie graficzne jest zawsze rozwiązaniem przybliżonym) jedno rozwiązanie: A=(2,0). Sprawdzimy to, rozwiązując układ równań metodą podstawienia.

\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases} \\ (x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4 \\ (x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4 \\ x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0 \\ x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0 \\ \frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16 \\ x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Pierwiastków szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: -1, 1, 2, -2, .... Oznaczamy lewą stronę równania przez W(x) i szukamy miejsca zerowego:

W(1)=1-8+24-32+16=1\neq 0 \\ W(-1)=1+8+24+32+16\neq 0\\ W(2)=2^4-8\cdot 2^3+24\cdot 2^2-32\cdot 2+16=16-64+96-64+16=0

Zgodnie z twierdzeniem Bezout nasz wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian x-2. Wykonujemy więc dzielenie wielomianów:

(x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0):(x-2)=x^3-6x^2+12x-8\\ \underline{x^4-2x^3} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x-2)(x^3-6x^2+12x-8)=0

Na podstawie wykresu widać, że mamy do czynienia tylko z jednym pierwiastkiem, więc albo wielomian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, albo jest nim liczba 2. Sprawdzamy to:

W_1(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-8=8-24+24-8=0

Wykonujemy więc dzielenie wielomianu W1(x) przez dwumian x-2:

(x^3-6x^2+12x-8):(x-2)=x^2-4x+4\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \ \ \ \ \ -4x^2+12x-8\\ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

(x-2)(x-2)(x^2-4x+4)=0

Wyrażenie w ostatnim nawiasie można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia:

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

Zgodnie z nim mamy: x2-4x+22=(x-2)2. Piszemy więc:

(x-2)(x-2)(x-2)^2=0\\ (x-2)^4=0 \\ x=2

Wystarczy teraz podstawić wyliczoną wartość do pierwszego równania aby znaleźć wartość y:

\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-2+1 \\ x=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases}

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases} x=2\\ y=0 \end{cases}

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-582





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.