Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - układ równań drugiego stopnia


Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole)

Figura w układzie współrzędnych


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases} x^2+y^2\leq 9 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases} \ \vee x^2+y^2\leq 1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie okręgu ma postać:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie S=(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r.

Jeśli znak równości zastąpimy nierównością nieostrą (znakiem mniejszości, to opiszemy koło). Mamy bowiem wtedy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku S=(p,q) i promieniu równym lub mniejszym od r.

Najmniejsze koło możemy więc opisać wzorem:

(x-p)^2+(y-q)^2\leq r^2\\ (x-0)^2+(y-0)^2\leq 1^2 \\ x^2+y^2\leq 1

Zewnętrzny pierścień opiszemy za pomocą układu nierówności. Zauważamy, że pierścień to część wspólna dwóch obszarów: największego koła o promieniu 3 (możemy je opisać podobnie jak małe koło) i obszaru leżącego na zewnątrz okręgu średniego o promieniu 2 (możemy je opisać tak jak inne koła, z tą różnicą, że zamieniamy zwrot nierówności. Warto tu spojrzeć na zadanie dotyczące podobnego pierścienia)

Mamy więc:

\begin{cases} x^2+y^2\leq 3^2 \\ x^2+y^2\geq 2^2 \end{cases}\\ \begin{cases} x^2+y^2\leq 9 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases}

Opisaliśmy dwa obszary. Mamy jednak jednym wzorem opisać całą figurę. Na całą figurę składa się suma obszarów opisanych wyżej. Obszary te opisaliśmy za pomocą wzorów (form zdaniowych), dla których używamy sumy logicznej (alternatywy), stosując znak "∨" albo używając słowa "lub"

Opisujemy więc zakreskowaną figurę za pomocą wzoru:

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases} x^2+y^2\leq 9 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases} \ \vee x^2+y^2\leq 1

© medianauka.pl, 2010-02-07, ZAD-586

Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.