Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Treść zadania:
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Rozwiązanie zadania
Równanie okręgu ma postać:
\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\).
Jeśli znak równości zastąpimy nierównością nieostrą (znakiem mniejszości, to opiszemy koło). Mamy bowiem wtedy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(p,q)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(r\).
Najmniejsze koło możemy więc opisać wzorem:
\((x-p)^2+(y-q)^2\leq r^2\)
\((x-0)^2+(y-0)^2\leq 1^2\)
\(x^2+y^2\leq 1\)
Zewnętrzny pierścień opiszemy za pomocą układu nierówności. Zauważamy, że pierścień to część wspólna dwóch obszarów: największego koła o promieniu 3 (możemy je opisać podobnie jak małe koło) i obszaru leżącego na zewnątrz okręgu średniego o promieniu 2 (możemy je opisać tak jak inne koła, z tą różnicą, że zamieniamy zwrot nierówności. Warto tu spojrzeć na zadanie dotyczące podobnego pierścienia).
Mamy więc:
\(\begin{cases}x^2+y^2\leq 3^2\\x^2+y^2\geq 2^2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x^2+y^2\leq 9\\x^2+y^2\geq 4\end{cases}\)
Opisaliśmy dwa obszary. Mamy jednak jednym wzorem opisać całą figurę. Na całą figurę składa się suma obszarów opisanych wyżej. Obszary te opisaliśmy za pomocą wzorów (form zdaniowych), dla których używamy sumy logicznej (alternatywy), stosując znak "\(\vee\)" albo używając słowa "lub".
Opisujemy więc zakreskowaną figurę za pomocą wzoru:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-07, ZAD-586
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.