Zadanie - układ równań drugiego stopnia

Treść zadania:

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie okręgu ma postać:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\).

Jeśli znak równości zastąpimy nierównością nieostrą (znakiem mniejszości, to opiszemy koło). Mamy bowiem wtedy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(p,q)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(r\).

Najmniejsze koło możemy więc opisać wzorem:

\((x-p)^2+(y-q)^2\leq r^2\)

\((x-0)^2+(y-0)^2\leq 1^2\)

\(x^2+y^2\leq 1\)

Zewnętrzny pierścień opiszemy za pomocą układu nierówności. Zauważamy, że pierścień to część wspólna dwóch obszarów: największego koła o promieniu 3 (możemy je opisać podobnie jak małe koło) i obszaru leżącego na zewnątrz okręgu średniego o promieniu 2 (możemy je opisać tak jak inne koła, z tą różnicą, że zamieniamy zwrot nierówności. Warto tu spojrzeć na zadanie dotyczące podobnego pierścienia).

Mamy więc:

\(\begin{cases}x^2+y^2\leq 3^2\\x^2+y^2\geq 2^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+y^2\leq 9\\x^2+y^2\geq 4\end{cases}\)

Opisaliśmy dwa obszary. Mamy jednak jednym wzorem opisać całą figurę. Na całą figurę składa się suma obszarów opisanych wyżej. Obszary te opisaliśmy za pomocą wzorów (form zdaniowych), dla których używamy sumy logicznej (alternatywy), stosując znak "\(\vee\)" albo używając słowa "lub".

Opisujemy więc zakreskowaną figurę za pomocą wzoru:

ksiązki Odpowiedź

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 9 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases} \ \vee x^2+y^2\leq 1\)

© medianauka.pl, 2010-02-07, ZAD-586

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2025 r.