Strona główna » Matematyka » Układ równań i nierówności drugiego stopnia

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$xy-2=0 \\ xy=2/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{2}{x}$

x	-2	-1	-1/2	1/2	1	2
y	-1	-2	-4	4	2	1

y=-3x+3

x	0	1
y	3	0

Wykresy nie mają punktów wspólnych - układ równań nie ma rozwiązania.

$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\\ x(-3x+3)-2=0 \\ -3x^2+3x-2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =3^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=\\ =9-24=-15<0$

Układ równań nie ma rozwiązania

Rozwiązanie szczegółowe

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie.

Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem równania:
$xy-2=0 \\ xy=2/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{2}{x}$

jest hiperbola. Założyliśmy, że x jest różne od zera. Gdyby x było równe zeru, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2. Sporządzamy tabelkę zmienności:

x	-2	-1	-1/2	1/2	1	2
y	-1	-2	-4	4	2	1

Jeżeli chodzi o drugie równanie (y=-3x+3), to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x	0	1
y	3	0

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Wykresy wydają się nie mieć punktów wspólnych, stąd wniosek, że układ równań nie ma rozwiązania.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punktów. Znajdźmy teraz rozwiązanie za pomocą rachunków.

Stosujemy metodę podstawienia:

$\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\\ x(-3x+3)-2=0 \\ -3x^2+3x-2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =3^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=\\ =9-24=-15<0$ tło

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, równanie nie posiada pierwiastków, a co za tym idzie, układ równań również nie posiada rozwiązań.

Odpowiedź

Układ równań nie ma rozwiązania

Zadania podobne

Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}$

Zadanie -układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) $\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}$

Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie układ równań
$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}$

Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Dla jakich wartości parametru m układ równań
$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}$ :
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
$\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}$

Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
a) $\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}$