Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - układ równań II stopnia z dwiema niewiadomymi


Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

xy-2=0 \\ xy=2/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{2}{x}

x-2-1-1/21/212
y-1-2-4421

y=-3x+3
x01
y30

Rozwiązanie graficzne układu równań
Wykresy nie mają punktów wspólnych - układ równań nie ma rozwiązania.

\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\\ x(-3x+3)-2=0 \\ -3x^2+3x-2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =3^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=\\ =9-24=-15<0

Układ równań nie ma rozwiązania

ksiązki Rozwiązanie szczegółowe

Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie.

Sporządzimy wykres obu równań w jednym układzie współrzędnych:

Wykresem równania:
xy-2=0 \\ xy=2/:x (x\neq 0)\\ y=\frac{2}{x}

jest hiperbola. Założyliśmy, że x jest różne od zera. Gdyby x było równe zeru, wówczas otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2. Sporządzamy tabelkę zmienności:


x-2-1-1/21/212
y-1-2-4421

Jeżeli chodzi o drugie równanie (y=-3x+3), to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):

x01
y30

Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie graficzne układu równań

Wykresy wydają się nie mieć punktów wspólnych, stąd wniosek, że układ równań nie ma rozwiązania.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punktów. Znajdźmy teraz rozwiązanie za pomocą rachunków.

Stosujemy metodę podstawienia:

\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\\ x(-3x+3)-2=0 \\ -3x^2+3x-2=0 \\ \Delta=b^2-4ac=\\ =3^2-4\cdot(-3)\cdot(-2)=\\ =9-24=-15<0 tło tło

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, równanie nie posiada pierwiastków, a co za tym idzie, układ równań również nie posiada rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Układ równań nie ma rozwiązania

© medianauka.pl, 2010-02-05, ZAD-576


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.