Logo Serwisu Media Nauka


Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Teoria Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca:

y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}

gdzie

\Delta=b^2-4ac

jest to tak zwany wyróżnik trójmianu kwadratowego, potocznie nazywany "deltą".


Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest wygodna, gdy musimy sporządzić wykres funkcji kwadratowej lub określić jej własności (monotoniczność, ekstremum funkcji itp.). Korzystamy tutaj przy tym z przesunięcia wykresu funkcji y=ax^2 o wektor \vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]



Przykład Przykład

Sprowadzimy do postaci kanonicznej funkcję f(x)=2x^2-4x+12

Mamy tutaj:
a=2\\b=-4\\c=12

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot{2}\cdot{12}=16-96=-80

Wstawiamy więc liczby do wzoru:
y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=2(x+\frac{-4}{4})^2-\frac{-80}{8}=2(x-1)^2+10

Wyprowadzenie postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego

Poniżej wyprowadzamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego.
y=ax^2+bx+c
Z definicji trójmianu kwadratowego wynika, że a\neq{0} więc możemy wyjąć ten współczynnik przed nawias.
y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})

Należy się pozbyć potęgi przy x. Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: x^2+2A+A^2=(x+A)^2, przy czym nie mamy jeszcze takiej postaci w naszym wzorze. A oznacza pewne wyrażenie liczbowe, musimy jednak najpierw uzyskać wyraz 2A.
y=a(x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})

Mamy więc już wyraz 2A=2\frac{b}{2a}, więc A=\frac{b}{2a}. Brakuje nam jeszcze wyrazu A2, czyli A^2=(\frac{b}{2a})^2. Możemy go dodać do naszego wzoru, ale aby otrzymać zdanie prawdziwe musimy je także odjąć:
y=a[x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]

Dla podkreślonych wyrazów możemy więc zastosować wspomniany wyżej wzór skróconego mnożenia.
y=a[\underline{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2}-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]

Otrzymujemy zatem
y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}]

Teraz obliczamy wyraz wolny i mnożymy wyrazy w nawiasie przez a.
y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{a^2}]\\{y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\cdot \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\{y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}}

Wprowadzając oznaczenie \Delta=b^2-4ac otrzymujemy postać kanoniczną:
y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}


© Media Nauka, 2009-07-19, ART-268



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 235 - postać kanoniczna trójmianu kwadratowego
Sprowadzić do postaci kanonicznej funkcję f(x)=2x2+2x+1.

zadanie - ikonka Zadanie 236 - zastosowanie postaci kanonicznej trójmianu kwadr.
Wykres funkcji y=-x^2 przesunięto o wektor \vec{u}=[-5,5]. Jakie jest równanie paraboli, powstałej w wyniku przesunięcia?



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy