Rozwiązywanie układu równań

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda podstawiania, która polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą niewiadomą i wstawieniu tak otrzymanego wyrażenia do drugiego równania. Układ złożony z wyznaczonego równania i przekształconego drugiego równania będzie układem równoważnym do danego. Układ równoważny otrzymamy także wówczas, jeżeli dowolne równanie układu zastąpimy równaniem równoważnym.

Poniższa animacja ilustruje opisywaną wyżej metodę rozwiązywania układu równań.

Animacja

A oto przykłady na układy równań sprzecznych i zależnych:

Przykład

$\begin{cases}x-y=0\\y-x=1\end{cases}\\{\begin{cases}x=y\\y-y=1\end{cases}}\\{\begin{cases}x=y\\0=1\end{cases}}$

Rozpatrywany układ jest układem równań sprzecznych.

Przykład

$\begin{cases}x-y=0\\2x-2y=0\end{cases}\\{\begin{cases}x=y\\2y-2y=0\end{cases}}\\{\begin{cases}x=y\\0=0\end{cases}}$

Rozpatrywany układ jest układem równań zależnych.

Metodą podstawiania możemy rozwiązywać także układy trzech, czterech i większej liczby równań. Warto jednak zwrócić uwagę na to, aby podczas wybierania równań do wyznaczania zmiennych wybierać możliwie najprostsze równania w celu ułatwienia rachunków. Metoda ta jest metodą najczęściej wykorzystywaną przez uczniów w szkołach ze względu na swoją prostotę. Niestety bywa nieefektywna. Warto zapoznać się z metodą przeciwnych współczynników, często stosowaną razem z metodą podstawiania oraz z metodą wyznaczników, która w skomplikowanych układach, w szczególności z parametrem daje najszybsze efekty.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Zadanie - układ równań - metoda podstawiania
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) $\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}$
b) $\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań - metoda podstawiania
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) $\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Układ równań
Jeżeli dwa równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układy równań - metoda przeciwnych współczynników
Układy równań - Metoda przeciwnych współczynników.

Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznaczników
Metoda wyznaczników należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem.

Test wiedzy