Zadania — wzory trygonometryczne
Znajdziesz tutaj zadania z zastosowań wzorów trygonometrycznych. To zadania z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.
Zadanie nr 3.
Wiedząc, że \(\sin{x}=0,2\) oblicz \(\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć
a) \(\sin{75°}+\sin{15°}\)
b) \(\cos{75°}+\cos{15°}\)
c) \(\sin{75°}-\sin{15°}\)
d) \(\cos{75°}-\cos{15°}\)
Zadanie nr 5.
Udowodnić tożsamość:
a) \(tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
b) \(tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}\)
c) \(\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1\)
Zadanie nr 6.
Udowodnić tożsamość:
a) \(tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}\)
b) \(\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}\)
c) \(\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}\)
Zadanie nr 7.
Udowodnić tożsamość: \(tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}\).
Zadanie nr 8.
Udowodnić tożsamość:
a) \(\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\)
b) \(tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1\)
c) \(\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)\)
d) \(tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}\)
e) \(\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć:
a) \(\sin{30°}\)
b) \(\cos{3285°}\)
c) \(tg{1125°}\)
d) \(ctg{210°}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć:
a) \(\sin{(-45°)}\)
b) \(ctg{(-60°)}\)
c) \(\cos{(-90°)}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć:
a) \(\sin{120°}\)
b) \(\cos{135°}\)
c) \(\cos{240°}\)
d) \(\sin{225°}\)
Zadanie nr 13.
Obliczyć:
a) \(\sin{960°}\)
b) \(tg{2115°}\)
c) \(\cos{2760°}\)
Zadanie nr 14.
Sprowadzić do prostszej postaci:
a) \(\sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\)
b) \(\cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\)
c) \(tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}\)
Zadanie nr 15.
Sprowadzić do prostszej postaci:
a) \(\sin{(-x)}-\cos{(270°-x)}\)
b) \(\sin{(x-90°)}\)
c) \(\cos{(x-\pi)}\)
Zadanie nr 16.
Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).
Zadanie nr 17.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 18 - maturalne.
Dla każdego kąta ostrego α iloczyn \(\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}\) jest równy
A. \(\sin{\alpha}\)
B. \(tg\alpha\)
C. \(\cos{\alpha}\)
D. \(\sin^2{\alpha}\)
Zadanie nr 19 - maturalne.
Jeżeli \(0°<\alpha <90°\) oraz \(tg\alpha=2\sin{\alpha}\), to:
A. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
B. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\cos{\alpha}=1\)
Zadanie nr 20 - maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 21 - maturalne.
Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}-5\cos{\alpha}}\) jest równa:
A. \(-\frac{11}{23}\)
B. \(\frac{24}{5}\)
C. \(-\frac{23}{11}\)
D. \(\frac{5}{24}\)
Zadanie nr 22 - maturalne.
Jeśli \(m=\sin{50°}\), to
A. \(m=\sin40°\)
B. \(m=\cos40°\)
C. \(m=\cos50°\)
D. \(m=tg50°\)
Zadanie nr 23 - maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 24 - maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 25 - maturalne.
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin{\alpha}+3\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 26 - maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 27 - maturalne.
Różnica \(\cos^2{165°} − \sin^2{165°}\) jest równa
A. \(-1\)
B. \(-\frac{3}{2}\)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Zadanie nr 28 - maturalne.
Liczba \(cos{12°}\cdot \sin{78°}+\sin{12°}\cdot \cos{78°}\) jest równa
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. 1
Zadanie nr 29 - maturalne.
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin{2\alpha}\).
Zadanie nr 30 - maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Zadanie nr 31 - maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\) jest równe:
A. \(\sin^2{\alpha}\)
B. \(\sin^6{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\)
C. \(\sin^4{\alpha}+1\)
D. \(\sin^2{\alpha}\cdot (\sin{\alpha}+\cos{\alpha})\cdot (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})\)
Zadanie nr 32 - maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 32.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
