Zadania — logika

Zadanie nr 1.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Określ wartości logiczne zdań:

1. \(11<12\)
2. \(11>12\)
3. \(254562\) jest liczbą pierwszą.
4. Dziedziną funkcji \(y=\frac{1}{x}\) jest zbiór liczb rzeczywistych.
5. Czy \(1\) jest większe od \(0\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Określ wartość logiczną zdań:

A. \((1<3) \wedge (2<6)\)

B. \((3<1) \wedge (2<6)\)

C. \((3<1) \wedge (6<2)\)

D. \((1<3) \wedge (6<2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Określ wartość logiczną zdań:

A. \((1<3) \vee (2<6)\)

B. \((3<1) \vee (2<6)\)

C. \((3<1) \vee (6<2)\)

D. \((1<3) \vee (6<2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Określ wartość logiczną zdań:

A. \((\pi \in \mathbb{R} ) \Leftrightarrow (2<6)\)

B. \((3<1) \Leftrightarrow (2<6)\)

C. \((3<1) \Leftrightarrow (6<2)\)

D. \((1-1=0) \Leftrightarrow (1+1=0)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Zapisz za pomocą kwantyfikatorów następujące zdania logiczne:

A. Dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych oraz \(y\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych wyrażenie \((x-y)^4\) jest nieujemne.

B. Dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje \(y\) należące do zbioru liczb rzeczywistych takie, że suma \(x\) i \(y\) jest równa \(-1\).

C. Istnieje takie \(n\), należące do zbioru liczb naturalnych, że \(n\) jest podzielne przez \(13\).

D. Istnieje takie \(x\) należące do przedziału \((-10;10)\), dla którego \(x^2-1=0\).

E. Nie istnieje takie \(x\) należące do przedziału \((-1;1)\), dla którego \(x^2-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.