Zadania — koła i okręgi

Znajdziesz tutaj zadania z działu koła i okręgi oraz elipsy. To zadania z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt \(A\) w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt \(A\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć pole koła o średnicy \(d=\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć długość okręgu o średnicy \(d=7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Jaki promień ma koło o polu równym 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Pole koła jest równe \(\pi\). Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu \(r=10\ cm\) tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu \(x^2+16y^2=144\)? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

Dana jest elipsa o równaniu \(x^2+4y^2=4\). Obliczyć mimośród tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Dana jest elipsa o mimośrodzie \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) i ognisku w punkcie \(F=(\frac{3}{2},0)\). Znaleźć równanie tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22.

Oblicz mimośród elipsy przedstawionej na rysunku.

Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23.

Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.

Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 24.

Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 25.

Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu \(2x^2+3y^2=6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 26.

Dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2=4\). Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 27.

Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu \(6\pi\) i osi wielkiej elipsy o długości 6.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 28.

Znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), gdzie \(A=(2,0), B=(1,2), C=(-2,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 29.

Oblicz miarę kąta \(alpha\), zaznaczonego na rysunku.

Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 30.

Oblicz długość okręgu danego równaniem \((x-1)^2+(y-1)^2=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 31.

Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty \(A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 32.

Obliczyć pole powierzchni pierścienia kołowego wyznaczonego przez okręgi \(x^2+y^2=4\) oraz \(x^2+y^2=16\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 33.

Pola dwóch kół współśrodkowych są równe odpowiednio 6 i 4. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 34.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 35.

Obliczyć długość łuku wyznaczonego przez półokrąg o promieniu 4.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 36.

Obliczyć długość łuku okręgu o kącie środkowym 30o i promieniu \(r=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 37.

Jaką miarę ma kąt środkowy, jeżeli długość łuku okręgu na nim opartego jest równa \(\frac{3}{4}\pi\), a promień tego okręgu ma długość 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 38.

Jakie pole zakreśla na zegarze sekundnik w czasie 1 sekundy, jeżeli długość tej wskazówki jest równa 20 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 39.

Jaką część należy wyciąć z pierścienia kołowego, aby jego pole było równe \(\frac{\pi}{8}\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 40 - maturalne.

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa:

Zadanie maturalne - 2016

A. 91°

B. 72,5°

C. 18°

D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 41 - maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 42 - maturalne.

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

A. \(5°\)

B. \(10°\)

C. \(20°\)

D. \(30°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 43 - maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 44 - maturalne.

Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

rysunek
Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 45 - maturalne.

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha\) ma miarę:

A. \(m=116°

B. \(m=114°

C. \(m=112°

D. \(m=110°

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 46 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 47 - maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 48 - maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 49 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K, L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\), spełniają warunek \(\alpha +\beta=111°\). Wynika stąd, że

Rysunek

A. \(\alpha=74°\)

B. \(\alpha=76°\)

C. \(\alpha=70°\)

D. \(\alpha=72°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 50 - maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 51 - maturalne.

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy 2.

rysunek

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 52 - maturalne.

Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny oraz \(|AC|>|BC|\). Dwusieczna \(d_C\) kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\). Punkt \(L\) jest obrazem punktu \(K\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_A\) kąta \(BAC\), punkt \(M\) jest obrazem punktu \(L\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_C\) kąta \(ACB\), a punkt \(N\) jest obrazem punktu \(M\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_B\) kąta \(ABC\) (zobacz rysunek).

rysunek

Udowodnij, że na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 53 - maturalne.

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

rysunek

A. \(\alpha=30°\)

B. \(\alpha<30°\)

C. \(\alpha>45°\)

D. \(\alpha=45°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 54 - maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 55 - maturalne.

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Rysunek

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 56 - maturalne.

Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).

Rysunek do zadani amaturalnego nr 24, 2021

Długość \(r\) promienia jest równa

A. \(\sqrt{3}\)

B. \(2\)

C. \(\sqrt{5}\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 57 - maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 58 - maturalne.

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2022

Wtedy kąt ABD ma miarę

A. \(\frac{\alpha}{2}+\gamma−180°\)

B. \(180°-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)

C. \(180°-\alpha-\gamma\)

D. \(\alpha+\gamma−180°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 59 - maturalne.

Punkty \(A, B, P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu 6. Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę 60° (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2022, matematyka

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A. \(6\pi\)

B. \(9\pi\)

C. \(10\pi\)

D. \(12\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 60 - maturalne.

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę 70° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa:

Zadanie 21, matura 2023, matematyka

A. \(10°\)

B. \(20°\)

C. \(35°\)

D. \(40°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 60.

Oznaczenia

zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom podstawowy. zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom rozszerzony.

Zbiór zadań z matematyki
Zbiór wszystkich zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami.
AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.
Okręgi i koła
Ten rozdział traktuje o kołach, okręgach, a także elipsach, łukach, pierścieniach i wycinkach koła.

 



©® Media Nauka 2008-2023 r.