Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie


Znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A=(2,0), B=(1,2), C=(-2,-1)


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic, na którym zaznaczamy symetralne dwóch boków trójkąta (nie musimy analizować trzech symetralnych, gdyż i tak wszystkie przecinają się w tym samym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie).

Szkic do zadania

Szukamy punktu przecięcia się symetralnych (zaznaczonych na rysunku kolorem pomarańczowym). Dane są tylko wierzchołki. Musimy zatem znaleźć równania prostych zawierających boki trójkąta, środki tych boków, następnie równania symetralnych i rozwiązać układ tych równań.

Szukamy prostej wyznaczonej przez punkty A,B, podstawiając ich współrzędne do równania kierunkowego prostej:

y=a_1x+b_1\\ A=(2,0),\ B=(1,2)\\ \begin{cases}2=a_1\cdot 1+b_1\\ 0=a_1\cdot 2+b_1\end{cases}\\ \underline{- \ \ \begin{cases}2=a_1+b_1\\ 0=2a_1+b_1\end{cases}}\\ 2=-a_1\\ a_1=-2\\ 2=-2+b_1\\ b_1=4\\ y=-2x+4

Szukamy prostej wyznaczonej przez punkty A,C, podstawiając ich współrzędne do równania kierunkowego prostej:

y=a_2x+b_2\\ A=(2,0),\ C=(-2,-1)\\ \begin{cases}0=a_2\cdot 2+b_2\\ -1=a_2\cdot (-2)+b_2\end{cases}\\ \underline{- \ \ \begin{cases}0=2a_2+b_2\\ -1=-2a_2+b_2\end{cases}}\\ 1=4a_2/:4\\ a_2=\frac{1}{4}\\ 0=2\cdot \frac{1}{4}+b_2\\ b_2=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}

Szukamy środków boków trójkąta korzystając ze wzoru na środek odcinka S(xs,ys), wyznaczonego przez punkty A, B:

x_S=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_B}{2}

Mamy więc dla odcinka AB:

x_{AB}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}\\ y_{AB}=\frac{0+2}{2}=1

Symetralna m przechodzi przez środek odcinka AB, który właśnie wyznaczyliśmy i jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek AB. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:

a_1=-\frac{1}{a_2}

Mamy więc

m: \ y=a_mx+b_m\\ a_m=-\frac{1}{a_1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b_m\\ S_{AB}=(\frac{3}{2},1)\\ 1=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}x+b_m\\ b_m=1-\frac{3}{4}\\ b_m=\frac{1}{4}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

Podobne rachunki wykonujemy dla symetralnej n:

x_{AC}=\frac{2+(-2)}{2}=0\\ y_{AC}=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\\ n: \ y=a_nx+b_n\\ a_n=-\frac{1}{a_2}=-\frac{1}{\frac{1}{4}}=-4\\ y=-4x+b_n\\ S_{AC}=(0,-\frac{1}{2})\\ -\frac{1}{2}=-4\cdot 0+b_n\\ b_n=-\frac{1}{2}\\ y=-4x-\frac{1}{2}

Mamy równania symetralnych, szukamy ich punktu przecięcia, rozwiązując układ równań:

\begin{cases}y=-4x-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \end{cases}\\ -4x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}/\cdot 4\\ -16x-2=2x+1\\ -16x-2x=3\\ -18x=3/:(-18)\\ x=-\frac{1}{6}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\\ y=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{6})+\frac{1}{4}\\ y=-\frac{1}{12}+\frac{3}{12}\\ y=\frac{2}{12}\\ y=\frac{1}{6}\\ O=(-\frac{1}{6}, \frac{1}{6})

ksiązki Odpowiedź

O=(-\frac{1}{6}, \frac{1}{6})

© medianauka.pl, 2011-02-16, ZAD-1164




Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.