Zadania — funkcje trygonometryczne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości \(a\), ramionach długości \(b\), kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \(\beta\) oraz \(\alpha\) przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość \(h\) na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \(\beta, \frac{\alpha}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości \(a=\sqrt{2}\). Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości \(d=2\sqrt{3}\) tworzy z podstawą kąt \(\alpha=30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć promień \(R\) okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt \(r=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\sin{2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\frac{1}{2}tg{(\frac{\pi}{2}x)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć okres podstawowy funkcji:

a) \(y=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)

b) \(y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Znaleźć okres podstawowy funkcji

a) \(y=\sin{2x}\)

b) \(y= \sin{\pi x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Znaleźć okres podstawowy funkcji \(y=\cos{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Znaleźć okres podstawowy funkcji \(y = tg4x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=\frac{2}{3}\). Wtedy:

A. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

B. \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

C. \(\sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

D. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 - maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 - maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 - maturalne.

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego na rysunku jest równy:

A. \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

B. \(-\frac{4}{5}\)

C. \(-1\)

D. \(-\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 - maturalne.

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).

Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek

1. 27°<α≤30°
2. 24°<α≤27°
3. 21°<α≤24°
4. 18°<α≤21°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 - maturalne.

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy

A. \(\cos{\alpha}=\frac{5}{6}\)

B. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{5}\)

C. \(\cos{\alpha}=\frac{9}{25}\)

D. \(\cos{\alpha}=\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 - maturalne.

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy połowie wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20 - maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) (zobacz rysunek).

Wyrażenie \(2\cos{\alpha}−\sin{\beta}\) jest równe

A. \(2\sin{\beta}\)

B. \(\cos{\alpha}\)

C. \(0\)

D. \(2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21 - maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)

B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)

C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)

D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22 - maturalne.

Jeżeli \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\) i \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to wartość wyrażenia \(\sin(\beta−\frac{1}{3}\pi)\) jest równa

A. \(\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{2\sqrt{6}+2}{6}\)

C. \(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.