Nauka » Matematyka » Funkcja okresowa • Wykres funkcji sinus

Zadanie - okres podstawowy funkcji trygonometrycznej

Treść zadania:

Znaleźć okres podstawowy funkcji

a) $y=\sin{2x}$

b) $y= \sin{\pi x}$

Rozwiązanie części a)

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba $x+T$ należy do tej dziedziny oraz

$f(x)=f(x+T)$

Obliczamy zatem $f(x+T)$, czyli za argument $x$ podstawiamy \(x+T):

$f(x)=\sin{2x}$

$f(x+T)=\sin{[2(x+T)]}=\sin{(2x+2T)}$

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji $y=sinx$, który wynosi $2\pi$, więc musimy zastosować podstawienie:

$u=2x$

$f(u)=\sin{(u+2T)}$

Ponieważ okresem podstawowym funkcji $y=sinx$ jest $2\pi$, co oznacza, że $\sin{x}=\sin{(x+2\pi)}$, to porównując z funkcją $f(u)$ możemy napisać, że:

$2T=2\pi/:2$

$T=\pi$

Odpowiedź

Liczba $\pi$ jest okresem podstawowe funkcji $y=sin2x$.

Rozwiązanie części b)

Obliczamy $f(x+T)$ dla zadania w podpunkcie b), czyli za argument $x$ podstawiamy $x+T$ i otrzymujemy:

$f(x)=\sin{\pi x}$

$f(x+T)=\sin{[\pi (x+T)]}=\sin{(\pi x+\pi T)}$

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji $y=\sin{x}$, który wynosi $2\pi$, więc musimy zastosować podstawienie:

$u=\pi x$

$f(u)=\sin{(u+\pi T)}$

Ponieważ okresem podstawowym funkcji $y=\sin{x}$ jest $2\pi$, co oznacza, że $\sin{x}=\sin{(x+2\pi)}$, to porównując z funkcją $f(u)$ możemy napisać, że:

$\pi T=2\pi/:\pi$

$T=2$