Nauka » Matematyka » Okres funkcji • Wykres funkcji sinus

Zadanie - okres podstawowy funkcji trygonometrycznej

Znaleźć okres podstawowy funkcji
a)y=sin2x
b) y=sinπx

a) Rozwiązanie zadania

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz

Obliczamy zatem f(x+T), czyli za argument x podstawiamy x+T:

$f(x)=\sin{2x}\\ f(x+T)=\sin{[2(x+T)]}=\sin{(2x+2T)}$

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji y=sinx, który wynosi $2\pi$ , więc musimy zastosować podstawienie:

$u=2x\\ f(u)=\sin{(u+2T)}$

Ponieważ okresem podstawowym funkcji y=sinx jest $2\pi$ , co oznacza, że $\sin{x}=\sin{(x+2\pi)}$ , to porównując z funkcją f(u) możemy napisać, że:

$2T=2\pi/:2\\ T=\pi$

Odpowiedź

Liczba $\pi$ jest okresem podstawowe funkcji y=sin2x.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy f(x+T) dla zadania w podpunkcie b), czyli za argument x podstawiamy x+T i otrzymujemy:

$f(x)=\sin{\pi x}\\ f(x+T)=\sin{[\pi (x+T)]}=\sin{(\pi x+\pi T)}$

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji y=sinx, który wynosi $2\pi$ , więc musimy zastosować podstawienie:

$u=\pi x\\ f(u)=\sin{(u+\pi T)}$

Ponieważ okresem podstawowym funkcji y=sinx jest $2\pi$ , co oznacza, że $\sin{x}=\sin{(x+2\pi)}$ , to porównując z funkcją f(u) możemy napisać, że: