Zadanie maturalne nr 3, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Skorzystajmy ze wzoru na sinus różnicy kątów:

\(\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cos{\frac{\pi}{3}}-\cos{\beta}\sin{\frac{\pi}{3}}\)

Ponieważ \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\), to:

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cdot \frac{1}{2}- (-\frac{1}{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1\)

\(\sin^2{\beta}+(-\frac{1}{3})^2=1\)

\(\sin^2{\beta}+\frac{1}{9}=1\)

\(\sin^2{\beta}=1-\frac{1}{9}\)

\(\sin^2{\beta}=\frac{8}{9}\)

\(\sin{\beta}=\sqrt{\frac{8}{9}}\) lub \(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}\)

Ponieważ \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to w tym przedziale sinus przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (spójrz na wykres).

Zatem:

\(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Wracając do początkowych obliczeń:

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})+\frac{\sqrt{3}}{6}= -\frac{2\sqrt{2}}{6})+\frac{\sqrt{3}}{6}= \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-27, ZAD-4881

Zadania podobne

Znaleźć okres podstawowy funkcji

a) y = sin2x

b) y = sinπx

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby
rzeczywistej x.

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f.

A. f(x)=(cosx + 1)/(|cos|x| + 1)

B. f(x)=(sinx + 1)/(|sin|x| + 1)

C. f(x)=(cosx - 2)/(|cos|x| -2)

D. f(x)=(sinx - 2)/(|sin|x| - 2)