Zadanie - okres funkcji trygonometrycznej

Treść zadania:

UWAGA: niżej użyta metoda może być stosowana wyłącznie, gdy badaną funkcję można sprowadzić do jednej funkcji trygonometrycznej.

Rozwiązanie zadania

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby \(x\) z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz \(f(x)=f(x+T)\)

Nasza funkcja ma postać:

\(f(x)=\sin{2x}\)

Dla każdej wartości \(x\) i \(x+T\), powinien być spełniony warunek: \(f(x)=f(x+T)\). Obliczmy wartość funkcji \(f(x+T\)) (podstawiamy do wzoru funkcji za \(x\) wartość \(x+T\)):

\(f(x+T)=\sin{[2(x+T)]}\)

Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:

gdzie w naszym przypadku wartość występująca pod sinusem \(\alpha=2x\), przekształcamy naszą funkcję:

\(f(x)=\sin{2x}=\sin{(2x+2\pi)}=\sin{[2(x+\pi)]}=f(x+T)\)

Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-04-13, ZAD-1297

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Znaleźć okres podstawowy funkcji

a) \(y=\sin{2x}\)

b) \(y= \sin{\pi x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)

B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)

C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)

D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Jeżeli \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\) i \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to wartość wyrażenia \(\sin(\beta−\frac{1}{3}\pi)\) jest równa

A. \(\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{2\sqrt{6}+2}{6}\)

C. \(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.