Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - okres funkcji


Znaleźć okres podstawowy funkcji:
a) y=3ctg{\frac{x}{\pi}}
b) y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}


UWAGA: niżej użyta metoda może być stosowana wyłącznie, gdy badaną funkcję można sprowadzić do jednej funkcji trygonometrycznej.

ksiązki a) Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\pi)}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\frac{\pi^2}{\pi})}=3ctg{\frac{x+\pi^2}{\pi}}=f(x+T)\\T=\pi^2

ksiązki a) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz f(x)=f(x+T)

Nasza funkcja ma postać:

f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}

Dla każdej wartości x i x+T, powinien być spełniony warunek: f(x)=f(x+T). Obliczmy wartość funkcji f(x+T) (podstawiamy do wzoru funkcji za x wartość x+T):

f(x+T)=3ctg{\frac{x+T}{\pi}} tło

Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:

ctg{(\alpha+\pi)}=ctg{\alpha}

gdzie w naszym przypadku alpha=\frac{x}{\pi}. Przekształcamy naszą funkcję:

f(x)=3ctg{\frac{x}{\pi}}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\pi)}=3ctg{(\frac{x}{\pi}+\frac{\pi^2}{\pi})}=3ctg{\frac{x+\pi^2}{\pi}}=f(x+T) tło

Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:

ksiązki Odpowiedź

T=\pi^2

ksiązki b) Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}=2\cos{(x+\frac{\pi}{7}+2\pi)}=f(x+T)\\ T=2\pi

ksiązki b) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz f(x)=f(x+T)

Nasza funkcja ma postać:

f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}

Dla każdej wartości x i x+T, powinien być spełniony warunek: f(x)=f(x+T). Obliczmy wartość funkcji f(x+T) (podstawiamy do wzoru funkcji za x wartość x+T):

f(x+T)=2\cos{(x+T+\frac{\pi}{7})} tło

Skorzystamy teraz ze wzoru redukcyjnego:

\cos{(\alpha+2\pi)}=\cos{\alpha}

gdzie w naszym przypadku \alpha=x+\frac{\pi}{7}. Przekształcamy naszą funkcję:

f(x)=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}=2\cos{(x+\frac{\pi}{7}+2\pi)}=2\cos{(x+2\pi+\frac{\pi}{7})}=f(x+T) tło

Zauważ, że kolorem zaznaczono te same odpowiednie wartości. Stąd odczytujemy okres funkcji:

ksiązki Odpowiedź

T=2\pi

© medianauka.pl, 2011-04-13, ZAD-1299




Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.