Zadania z działu Rachunek różniczkowy

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Rachunek różniczkowy". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji

\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)

\(b) g(x)=x^{17}\)

\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)

\( d) i(x)=x\)

\( e) j(x)=\sqrt{2}\)

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=-x+5\)

\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)

\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)

\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)

\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=x\sin{x}\)

\(b) g(x)=\sin^2{x}\)

\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)

c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

10.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)

c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)

11.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

12.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

13.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).

14.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).

15.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sqrt{x}\)

b) \(f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}\)

16.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\cos^2{2x}\)

b) \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

17.

Dla jakiej wartości argumentu \(x\) druga pochodna funkcji \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) jest równa \(\frac{1}{4}\)?

18.

Rozwiąż równanie \(y''+y'=0\), gdzie \(y=x^3+1\).

19.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).

20.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).

21.

Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).

22.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).

23.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).

24.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

25.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).

26.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

27.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

28.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

29.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

30.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

31.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}\) w przedziale \(\langle -\frac{3}{2};0\rangle\).

32.

Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}\).

33.

Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}\).

34.

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

35.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

36.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.

37.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.

38.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.

39.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.

40.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).

41.

Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)

B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)

C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)

D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)

42.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

43.

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).

44.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

45.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

46.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m³. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m² dna
– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

47.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. 3

D. \(\frac{54}{8}\)

48.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

49.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.

50.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:50.