Zadania z działu Rachunek różniczkowy

zadania ikona

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Rachunek różniczkowy". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.

1. Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x²+x-1 w punkcie x₀=-1.

2. Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x² w punkcie x₀

3. Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+1}$ w punkcie x₀=0

4. Obliczyć pochodną funkcji w punkcie x₀=0

5. Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}$ w punkcie x₀=0.

6. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

7. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

8. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

9. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

10. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

11. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

12. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

13. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}$

14. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}$

15. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}$

16. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\cos^2{2x}$
b) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

17. Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

18. Rozwiąż równanie , gdzie y=x³+1.

19. Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\frac{2}{x}$ w punkcie (2,1).

20. Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\sin{x}$ w punkcie $(\frac{\pi}{2},1)$ .

21. Znaleźć równanie stycznej do okręgu w punkcie $(1,-\sqrt{2})$ .

22. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ .

23. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji .

24. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ .

25. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\sqrt{2}+1$ .

26. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

27. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ .

28. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

29. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ .

30. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

31. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}$ w przedziale <-3/2;0>.

32. Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}$

33. Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$

34. Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem . Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

35. Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

36. Zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres.

37. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$ i naszkicować jej wykres.

38. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$ i naszkicować jej wykres.

39. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}$ i naszkicować jej wykres.

40. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

41. Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

42. Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

43. Funkcja f określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.

44. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:44.

© Media Nauka 2008-2018 r.