Strona główna » Matematyka » Szkicowanie wykresów funkcji (przebieg zmienności)

Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Zbadać przebieg zmienności funkcji

i naszkicować jej wykres.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$Df:R\\ \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$
Miejsca zerowe:
$W(1)=0\\ (x^3+x^2-5x+3):(x-1)=x^2+2x-3\\ \ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ 2x^2-5x+3\\ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x+3\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$\Delta=4+12=16\\ x_1=-3\\ x_2=1$
Monotoniczność i ekstrema:
$f'(x)=3x^2+2x-5 \\ \Delta_{1}=64\\ x_{p1}=-\frac{5}{3}\\ x_{p2}=1\\ f'(x)=3(x+\frac{5}{3})(x-1)$

Rysunek pomocniczy

$(-\infty;-\frac{5}{3})$	$-\frac{5}{3}$	$(-\frac{5}{3};1)$		$(1;+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	9,48 max	$\searrow$	0 min	$\nearrow$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę funkcji:

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych: Df:R

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

$\lim_{x\to +\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to +\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}{(x^3+x^2-5x+3)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3})]}=-\infty$

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej. Ponieważ nie ma też punktów, w których funkcja jest nieokreślona, nie ma też asymptot pionowych. Kiedy podzielimy wielomian (funkcję) przez x, to otrzymamy wielomian w stopniu o jeden niższym, którego granica właściwa w plus i minus nieskończoności nie istnieje. Zatem wykres funkcji nie ma także asymptoty ukośnej.

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie wielomianowe:

W pierwszej kolejności szukamy pierwiastków równania wśród podzielników wyrazu wolnego wielomianu:

$W(1)=1^3+1^2-5\cdot 1+3=1+1-5+3=0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem równania. Wielomian zatem dzieli się bez reszty przez (x-1). Wykonujemy dzielenie:

$(x^3+x^2-5x+3):(x-1)=x^2+2x-3\\ \ \underline{x^3-x^2}\\ \ \ \ \ \ 2x^2-5x+3\\ \ \ \ \ \ \underline{2x^2-2x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x+3\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:

Trójmian w drugim nawiasie rozkładamy dalej na czynniki:

$x^2+2x-3\\ a=1,\ b=2,\ c=-3\\ \Delta=b^2-4ac=4-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1$

Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:

$(x-1)(x-1)(x+3)=0\\ (x-1)^2(x+3)=0$

Mamy zatem dwa miejsca zerowe funkcji: -3 i 1

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji:

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero, będziemy szukać ekstremum funkcji. Ponieważ już obliczaliśmy wyróżnik kwadratowy i pierwiastki, oznaczmy teraz te wielkości z indeksem "p" dla odróżnienia.

$3x^2+2x-5\\ \Delta_p=b^2-4ac=4-4\cdot 3\cdot (-5)=4+60=64\\ x_{p1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2-8}{6}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}\\ x_{p2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta_p}}{2a}=\frac{-2+8}{6}=1$

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<-5/3 oraz dla x>1 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (-5/3;1) - w tym przedziale funkcja maleje

W punktach -5/3 i 1 możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:

$(-\infty;-\frac{5}{3})$	$-\frac{5}{3}$	$(-\frac{5}{3};1)$		$(1;+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	9,48 max	$\searrow$	0 min	$\nearrow$

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punkcie -5/3:

$f(-\frac{5}{3})=-(\frac{5}{3})^3+(-\frac{5}{3})^2-5\cdot(-\frac{5}{3})+3\approx 9,48$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x=-5/3 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, w punkcie 1 przechodzi w dolinę - funkcja ma w tym miejscu minimum.

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.