Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone

Miejsca zerowe:


Monotoniczność i ekstrema:


![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | 9,48 max | ![]() | 0 min | ![]() |

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Określamy dziedzinę funkcji:
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych: Df:R
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:
Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej. Ponieważ nie ma też punktów, w których funkcja jest nieokreślona, nie ma też asymptot pionowych. Kiedy podzielimy wielomian (funkcję) przez x, to otrzymamy wielomian w stopniu o jeden niższym, którego granica właściwa w plus i minus nieskończoności nie istnieje. Zatem wykres funkcji nie ma także asymptoty ukośnej.
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie wielomianowe:
W pierwszej kolejności szukamy pierwiastków równania wśród podzielników wyrazu wolnego wielomianu:
Liczba 1 jest pierwiastkiem równania. Wielomian zatem dzieli się bez reszty przez (x-1). Wykonujemy dzielenie:

Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:
Trójmian w drugim nawiasie rozkładamy dalej na czynniki:
Możemy zatem przedstawić nasze równanie w postaci:
Mamy zatem dwa miejsca zerowe funkcji: -3 i 1
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji:
Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy, który warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero, będziemy szukać ekstremum funkcji. Ponieważ już obliczaliśmy wyróżnik kwadratowy i pierwiastki, oznaczmy teraz te wielkości z indeksem "p" dla odróżnienia.
Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<-5/3 oraz dla x>1 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (-5/3;1) - w tym przedziale funkcja maleje
W punktach -5/3 i 1 możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | 9,48 max | ![]() | 0 min | ![]() |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punkcie -5/3:
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x=-5/3 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, w punkcie 1 przechodzi w dolinę - funkcja ma w tym miejscu minimum.
Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

© medianauka.pl, 2010-10-04, ZAD-948
Zadania podobne

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania