Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone
![f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}=\frac{4x+1}{2x(x-2)}\\ Df:R\backslash \lbrace 0,2\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=0\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=0\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty](matematyka/wzory/zad510/2.gif)
Asymptota pozioma: y=0
Asymptota pionowa: x=0 oraz x=2

Asymptota ukośna: brak
Miejsca zerowe:

Monotoniczność i ekstrema:


(-∞;-1) | -1 | (-1;0) | 0 | (0;½) | ½ | (½;2) | 2 | (2;+∞) | |
![]() | - | 0 | + | + | 0 | - | - | ||
![]() | ![]() | -1/2 min | ![]() | ![]() | -2 max | ![]() | ![]() |


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Określamy dziedzinę funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

Ponieważ istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji posiada asymptotę pozioma: y=0.
Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=0 oraz x=2
![f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty](matematyka/wzory/zad510/13.gif)
Mamy więc aż dwie asymptoty pionowe o równaniach x=0 i x=2
Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej a=0 (jest równy tej granicy) asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą, której równanie już mamy (y=0)
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.

Liczba -1/4 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest ujemna dla x<-1 oraz dla x>1/2 (tutaj funkcja maleje). Pochodna jest dodatnia dla x z przedziału (-1;1/2) - w tym przedziale funkcja rośnie
W punktach x=-1 i x=1/2 możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
(-∞;-1) | -1 | (-1;0) | 0 | (0;½) | ½ | (½;2) | 2 | (2;+∞) | |
![]() | - | 0 | + | + | 0 | - | - | ||
![]() | ![]() | -1/2 min | ![]() | ![]() | -2 max | ![]() | ![]() |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

© medianauka.pl, 2010-10-05, ZAD-950
Zadania podobne

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania