Nauka » Matematyka » Szkicowanie wykresów funkcji (przebieg zmienności)

Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$ i naszkicować jej wykres.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}=\frac{4x+1}{2x(x-2)}\\ Df:R\backslash \lbrace 0,2\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=0\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=0\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty$
Asymptota pozioma: y=0
Asymptota pionowa: x=0 oraz x=2
$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$
Asymptota ukośna: brak

Miejsca zerowe:
$\frac{4x+1}{2x^2-4x}=0 \Leftrightarrow 4x+1=0 \\ 4x=-1/:4\\ x=-\frac{1}{4}$
Monotoniczność i ekstrema:
$f'(x)=\frac{4(2x^2-4x)-(4x+1)(4x-4)}{(2x^2-4x)^2}=\frac{8x^2-16x-16x^2+12x+4}{(2x^2-4x)^2}=\frac{-8x^2-4x+4}{(2x^2-4x)^2}\\ -8x^2-4x+4\\ \Delta=144\\ x_1=\frac{1}{2}\\ x_2=-1$

Rysunek

(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;½)	½	(½;2)	2	(2;+∞)
-	0	+		+	0	-		-
$\searrow$	-1/2 min	$\nearrow$		$\nearrow$	-2 max	$\searrow$		$\searrow$

$f_{max}(\frac{1}{2})=-2\\ f_{min}(-1)=-\frac{1}{2}$
$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę funkcji:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
$2x^2-4x\neq 0/:2\\ x^2-2x\neq 0\\x(x-2)\neq 0 \\ Df:R\backslash \lbrace 0,2\rbrace$

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

$\lim_{x\to +\infty}{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}=\lim_{x\to +\infty}{\frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}}}=0\\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}}}=0$

Ponieważ istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji posiada asymptotę pozioma: y=0.

Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=0 oraz x=2

$f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty$

Mamy więc aż dwie asymptoty pionowe o równaniach x=0 i x=2

Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

$\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{4x+1}{2x^2-4x}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{4x+1}{2x^3-4x^2}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{2-\frac{4}{x}}}=\frac{0+0}{2-0}=0$

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej a=0 (jest równy tej granicy) asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą, której równanie już mamy (y=0)

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

$\frac{4x+1}{2x^2-4x}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.

$4x+1=0\\ 4x=-1/:4\\ x=-\frac{1}{4}$

Liczba -1/4 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f'(x)=\frac{(4x+1)'(2x^2-4x)-(4x+1)(2x^2-4x)'}{(2x^2-4x)^2}=\frac{4(2x^2-4x)-(4x+1)(4x-4)}{(2x^2-4x)^2}=\\ \frac{8x^2-16x-(16x^2-16x+4x-4)}{(2x^2-4x)^2}=\frac{8x^2-16x-16x^2+12x+4}{(2x^2-4x)^2}=\frac{-8x^2-4x+4}{(2x^2-4x)^2}$

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.

$-8x^2-4x+4\\ \Delta=b^2-4ac=16-4\cdot(-8)\cdot 4=144\\ \sqrt{\Delta}=12\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-12}{-16}=\frac{1}{2}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+12}{-16}=-1$

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest ujemna dla x<-1 oraz dla x>1/2 (tutaj funkcja maleje). Pochodna jest dodatnia dla x z przedziału (-1;1/2) - w tym przedziale funkcja rośnie

W punktach x=-1 i x=1/2 możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.

(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;½)	½	(½;2)	2	(2;+∞)
-	0	+		+	0	-		-
$\searrow$	-1/2 min	$\nearrow$		$\nearrow$	-2 max	$\searrow$		$\searrow$

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

$f_{min}(\frac{1}{2})=\frac{4\cdot \frac{1}{2}+1}{2\cdot(\frac{1}{2})^2-4\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2+1}{\frac{1}{2}-2}=\frac{3}{-\frac{3}{2}}=-3\cdot \frac{2}{3}=-2\\ f_{max}(-1)=\frac{4\cdot (-1)+1}{2\cdot(-1)^2-4\cdot (-1)}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$