Nauka » Matematyka » Szkicowanie wykresów funkcji (przebieg zmienności)

Zadanie - przebieg zmienności funkcji

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}$ i naszkicować jej wykres.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty$
Asymptota pozioma: brak
Asymptota pionowa: x=0
$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3+1}{x^3}=1\\ \lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^3+1}{x^2}-x)=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^3+1-x^3}{x^2})=0$
Asymptota ukośna: y=x

Miejsca zerowe:
$\frac{x^3+1}{x^2}=0 \Leftrightarrow x^3+1=0 \\ x^3=-1\\ x=-1$
Monotoniczność i ekstrema:
$f'(x)=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}\\ x^4-2x, \ x\neq 0 \\ x(x^3-2)=0\Leftrightarrow x^3-2=0\\ x=\sqrt[3]{2}$
$f'(x)>0\\ x^4-2x>0\\ x(x^3-2)>0$
Rysunek pomocniczy

$(-\infty;0)$	$(0;\sqrt[3]{2})$	$\sqrt[3]{2}$	$(\sqrt[3]{2};\infty)$
+	-	0	+
$\nearrow$	$\searrow$	1,9 min	$\nearrow$

$f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\approx 1,9$
$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2} - mini$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę funkcji:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
$x^3\neq 0\\ x\neq 0\\ Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace$

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

$\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to -\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=-\infty$

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji nie posiada asymptoty poziomej.

Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=0

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty$

Mamy więc asymptotę pionową o równaniu x=0

Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

$\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{x^3+1}{x^2}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x^3+1}{x^3}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1+\frac{1}{x^3}}{1}=1$

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej a=1 (jest równy tej granicy) asymptota ukośna istnieje. Szukamy więc współczynnika b w równaniu asymptoty.

$\lim_{x\to \pm \infty}(f(x)-ax)=\lim_{x\to \pm \infty}{(\frac{x^3+1}{x^2}-1\cdot x)}=\lim_{x\to \pm \infty}(\frac{x^3+1}{x^2}-\frac{x^3}{x^2})=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{x^2}=0$

Równanie asymptoty pochyłej: y=x

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

$\frac{x^3+1}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.

$x^3+1=0\\ x^3=-1\\ x=\sqrt[3]{-1}\\ x=-1$

Liczba -1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f'(x)=\frac{(x^3+1)'\cdot x^2-(x^3+1)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}$

Szukamy ekstremum funkcji w punktach, w których pochodna jest równa zeru:

$f'(x)=0 \\ \frac{x^4-2x}{x^4}=0 \\ \frac{x(x^3-2)}{x^4}=0\\ \frac{x^3-2}{x^3}\\ x^3-2=0\\ x^3=2\\ x=\sqrt[3]{2}$

W tym punkcie funkcja może mieć ekstremum o ile pochodna zmienia znak przy przejściu przez ten punkt. Sprawdzamy więc znak pochodnej. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni (x⁴>0), to pochodna jest dodatnia, gdy licznik jest dodatni:

$f'(x)>0\\ x^4-2x>0\\ x(x^3-2)>0\\x[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]>0 \\ x(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})>0$

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Sporządzamy wykres wielomianu:

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<0 oraz dla x>x₂ (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (0;x₂) - w tym przedziale funkcja maleje

Sporządzamy tabelę zmienności. W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.