Nauka » Matematyka » Przebieg zmienności funkcji

Zadanie - przebieg zmienności funkcji

Treść zadania:

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}$ i naszkicować jej wykres.

Rozwiązanie zadania

Określamy dziedzinę funkcji:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
$x^3\neq 0$

$x\neq 0$

$Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace$

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

$\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=+\infty$

$\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3+1}{x^2}}=\lim_{x\to -\infty}{(x+\frac{1}{x^2})}=-\infty$

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji nie posiada asymptoty poziomej.

Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli $x=0$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty$

Mamy więc asymptotę pionową o równaniu $x=0$

Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

$\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{x^3+1}{x^2}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x^3+1}{x^3}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1+\frac{1}{x^3}}{1}=1$

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej $a=1$ (jest równy tej granicy) asymptota ukośna istnieje. Szukamy więc współczynnika b w równaniu asymptoty.

$\lim_{x\to \pm \infty}(f(x)-ax)=\lim_{x\to \pm \infty}{(\frac{x^3+1}{x^2}-1\cdot x)}=\lim_{x\to \pm \infty}(\frac{x^3+1}{x^2}-\frac{x^3}{x^2})=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{x^2}=0$

Równanie asymptoty pochyłej: y=x

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

$\frac{x^3+1}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.

$x^3+1=0$

$x^3=-1$

$x=\sqrt[3]{-1}$

$x=-1$

Liczba -1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f'(x)=\frac{(x^3+1)'\cdot x^2-(x^3+1)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}$

Szukamy ekstremum funkcji w punktach, w których pochodna jest równa zeru:

$f'(x)=0 $

$\frac{x^4-2x}{x^4}=0 $

$\frac{x(x^3-2)}{x^4}=0$

$\frac{x^3-2}{x^3}$

$x^3-2=0$

$x^3=2$

$x=\sqrt[3]{2}$

W tym punkcie funkcja może mieć ekstremum o ile pochodna zmienia znak przy przejściu przez ten punkt. Sprawdzamy więc znak pochodnej. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni ($x^4>0$), to pochodna jest dodatnia, gdy licznik jest dodatni:

$f'(x)>0$

$x^4-2x>0$

$x(x^3-2)>0$

$x[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]>0 $

$x(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})>0$

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Sporządzamy wykres wielomianu:

Zatem pochodna jest dodatnia dla $x<0$ oraz dla $x>x_2$(tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla $x$ z przedziału ($0;x_2$) - w tym przedziale funkcja maleje

Sporządzamy tabelę zmienności. W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.

$(-\infty;0)$	$(0;\sqrt[3]{2})$	$\sqrt[3]{2}$	$(\sqrt[3]{2};\infty)$
+	-	0	+
$\nearrow$	$\searrow$	1,9 min	$\nearrow$

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

$f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{(\sqrt[3]{2})^3+1}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{2+1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\approx 1,9$

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=x^3+x^2-5x+3$ i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$ i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$ i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.