Zadanie - przebieg zmienności funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone
![Df:R\backslash \lbrace 0\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty](matematyka/wzory/zad511/2.gif)
Asymptota pozioma: brak
Asymptota pionowa: x=0

Asymptota ukośna: y=x
Miejsca zerowe:

Monotoniczność i ekstrema:
![f'(x)=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1\cdot 2x)}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4-2x}{x^4}=\frac{x^4-2x}{x^4}\\ x^4-2x, \ x\neq 0 \\ x(x^3-2)=0\Leftrightarrow x^3-2=0\\ x=\sqrt[3]{2}](matematyka/wzory/zad511/5.gif)


![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | - | 0 | + | |
![]() | ![]() | ![]() | 1,9 min | ![]() |
![f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\approx 1,9](matematyka/wzory/zad511/16.gif)

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Określamy dziedzinę funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres naszej funkcji nie posiada asymptoty poziomej.
Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=0
![\lim_{x\to 0^+}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=+\infty](matematyka/wzory/zad511/19.gif)
Mamy więc asymptotę pionową o równaniu x=0
Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

Ponieważ istnieje powyższa granica, a współczynnik kierunkowy prostej a=1 (jest równy tej granicy) asymptota ukośna istnieje. Szukamy więc współczynnika b w równaniu asymptoty.

Równanie asymptoty pochyłej: y=x
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru.
![x^3+1=0\\ x^3=-1\\ x=\sqrt[3]{-1}\\ x=-1](matematyka/wzory/zad511/23.gif)
Liczba -1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

Szukamy ekstremum funkcji w punktach, w których pochodna jest równa zeru:
W tym punkcie funkcja może mieć ekstremum o ile pochodna zmienia znak przy przejściu przez ten punkt. Sprawdzamy więc znak pochodnej. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni (x4>0), to pochodna jest dodatnia, gdy licznik jest dodatni:
![f'(x)>0\\ x^4-2x>0\\ x(x^3-2)>0\\x[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]>0 \\ x(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})>0](matematyka/wzory/zad511/26.gif)
Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Sporządzamy wykres wielomianu:

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<0 oraz dla x>x2 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (0;x2) - w tym przedziale funkcja maleje
Sporządzamy tabelę zmienności. W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | - | 0 | + | |
![]() | ![]() | ![]() | 1,9 min | ![]() |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:
![f_{min}(\sqrt[3]{2})=\frac{(\sqrt[3]{2})^3+1}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{2+1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\approx 1,9](matematyka/wzory/zad511/28.gif)
Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

© medianauka.pl, 2010-10-05, ZAD-951
Zadania podobne

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania