Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone
![Df:R\backslash \lbrace 4\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to 4^+}f(x)=[\frac{15}{0^+}]=\infty\\ \lim_{x\to 4^-}f(x)=[\frac{15}{0^-}]=-\infty](matematyka/wzory/zad509/2.gif)
Asymptota pionowa: x=4

Asymptota ukośna: y=x+4
Miejsca zerowe:

Monotoniczność i ekstrema:


![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | - | 0 | + | |
![]() | ![]() | 0,25 max | ![]() | ![]() | 15,75 min | ![]() |


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Określamy dziedzinę funkcji:
Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.
Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:
Aby łatwiej było obliczyć granicę funkcji podzielmy licznik przez mianownik:

Możemy więc zapisać, że
Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej.
Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=4
![\lim_{x\to 4^+}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^+}]=\infty\\ \lim_{x\to 4^-}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^-}]=-\infty](matematyka/wzory/zad509/22.gif)
Mamy więc asymptotę pionową o równaniu x=4
Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

Ponieważ istnieje powyższa granica, współczynnik kierunkowy prostej a=1 (jest równy tej granicy). Wyraz wolny znajdziemy obliczając granicę:

Mamy tutaj do czynienia zatem z asymptotą ukośną o równaniu: y=x+4
Miejsca zerowe
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy więc:

Liczba -1 oraz 1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.
Monotoniczność funkcji i ekstrema
Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<x1 oraz dla x>x2 (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (x1;x2) - w tym przedziale funkcja maleje
W punktach x1 i x2 możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | - | 0 | + | |
![]() | ![]() | 0,25 max | ![]() | ![]() | 15,75 min | ![]() |
Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

© medianauka.pl, 2010-10-05, ZAD-949
Zadania podobne

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać przebieg zmienności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania