Strona główna » Matematyka » Szkicowanie wykresów funkcji (przebieg zmienności)

Zadanie - badanie przebiegu zmienności funkcji

Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$ i naszkicować jej wykres.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$Df:R\backslash \lbrace 4\rbrace \\ \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to 4^+}f(x)=[\frac{15}{0^+}]=\infty\\ \lim_{x\to 4^-}f(x)=[\frac{15}{0^-}]=-\infty$
Asymptota pionowa: x=4
$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-1}{x^2-4x}=1\\ a=1\\ \lim_{x\to \infty}{(f(x)-ax)}=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^2-1}{x-4}-x\cdot \frac{x-4}{x-4})=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-1-x^2+4x}{x-4}=\lim_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x-4}=4$
Asymptota ukośna: y=x+4

Miejsca zerowe:
$\frac{x^2-1}{x-4}=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \\ (x-1)(x+1)=0\\ x_1=-1, \ x_2=1$
Monotoniczność i ekstrema:
$f'(x)=\frac{2x(x-4)-(x^2-1)}{(x-4)^2}=\frac{2x^2-8x-x^2+1}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x+1}{(x-2)^2}\\ x^2-8x+1\\ \Delta=60\\ x_1=4-\sqrt{15}\\ x_2=4+\sqrt{15}$

Rysunek

$(-\infty;4-\sqrt{15})$	$4-\sqrt{15}$	$(4-\sqrt{15};4)$	$(4;4+\sqrt{15})$	$4+\sqrt{15}$	$(4+\sqrt{15};+\infty)$
+	0	-	-	0	+
$\nearrow$	0,25 max	$\searrow$	$\searrow$	15,75 min	$\nearrow$

$f_{max}(4-\sqrt{15})=\frac{(4-\sqrt{15})^2-1}{4-\sqrt{15}-4}=\frac{16-8\sqrt{15}+15-1}{-\sqrt{15}}=\frac{(30-8\sqrt{15})\cdot (-\sqrt{15})}{-\sqrt{15}\cdot (-\sqrt{15})}=8-2\sqrt{15}\approx 0,25\\ f_{min}(4+\sqrt{15})=8+2\sqrt{15}\approx 15,75$
$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Określamy dziedzinę funkcji:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc
$x-4\neq 0\\ x\neq 4\\ Df:R\backslash \lbrace 4\rbrace$

Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny i szukamy asymptot.

Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności:

Aby łatwiej było obliczyć granicę funkcji podzielmy licznik przez mianownik:

$(x^2-1):(x-4)=x+4\\ \ \underline{x^2-4x}\\ \ \ \ \ \ 4x-1\\ \ \ \ \ \ \underline{4x-16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 15$

Możemy więc zapisać, że

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}=x+4+\frac{15}{x-4}$
$\lim_{x\to +\infty}{(x+4+\frac{15}{x-4})}=+\infty\\ \lim_{x\to -\infty}{(x+4+\frac{15}{x-4})}=-\infty$

Ponieważ nie istnieje granica właściwa w plus i minus nieskończoności, wykres nie posiada asymptoty poziomej.

Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, czyli x=4

$\lim_{x\to 4^+}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^+}]=\infty\\ \lim_{x\to 4^-}{\frac{x^2-1}{x-4}}=[\frac{15}{0^-}]=-\infty$

Mamy więc asymptotę pionową o równaniu x=4

Sprawdzamy, czy wykres funkcji będzie miał asymptotę pochyłą:

$\lim_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{x^2-1}{x-4}}{x}}=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x^2-1}{x^2-4x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}}}=1$

Ponieważ istnieje powyższa granica, współczynnik kierunkowy prostej a=1 (jest równy tej granicy). Wyraz wolny znajdziemy obliczając granicę:

$\lim_{x\to \infty}{(f(x)-ax)}=\lim_{x\to \infty}{(\frac{x^2-1}{x-4}-1\cdot x)}=\lim_{x\to \infty}(\frac{x^2-1}{x-4}-x\cdot \frac{x-4}{x-4})=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-1-x^2+4x}{x-4}=\\ =\lim_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x-4}=\lim_{x\to \infty}\frac{4-\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=4$

Mamy tutaj do czynienia zatem z asymptotą ukośną o równaniu: y=x+4

Miejsca zerowe

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie:

$\frac{x^2-1}{x-4}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli licznik jest równy zeru. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy więc:

$x^2-1=0\\ (x-1)(x+1)=0$

Liczba -1 oraz 1 jest pierwiastkiem równania i miejscem zerowym naszej funkcji.

Monotoniczność funkcji i ekstrema

Aby zbadać monotoniczność funkcji i istnienie ekstremum obliczamy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f'(x)=(\frac{x^2-1}{x-4})'=\frac{(x^2-1)'(x-4)-(x^2-1)(x-4)'}{(x-4)^2}=\frac{2x(x-4)-(x^2-1)\cdot 1}{(x-4)^2}=\\ = \frac{2x^2-8x-x^2+1}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x+1}{(x-4)^2}$

Otrzymaliśmy trójmian kwadratowy w liczniku ułamka, którego mianownik z całą pewnością jest dodatni. Licznik warto rozłożyć na czynniki. Po co? Otóż na podstawie znaku pochodnej (co się sprowadza do znaku licznika) stwierdzimy w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca, natomiast w punktach, w których pochodna jest równa zero (licznik jest równy zero), będziemy szukać ekstremum funkcji.

$x^2-8x+1\\ \Delta_p=b^2-4ac=64-4\cdot 1\cdot 1=60\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\approx 0,13\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}\approx 7,87$

Sporządzimy wykres trójmianu (pochodnej). Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę, mamy dwa miejsca zerowe.

Zatem pochodna jest dodatnia dla x<x₁ oraz dla x>x₂ (tutaj funkcja rośnie). Pochodna jest ujemna dla x z przedziału (x₁;x₂) - w tym przedziale funkcja maleje

W punktach x₁ i x₂ możemy mieć ekstremum, o ile zmienia się znak pochodnej. To łatwo odczytać z tabelki:

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum lub takie, które nie należą do dziedziny. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość. W trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.

$(-\infty;4-\sqrt{15})$	$4-\sqrt{15}$	$(4-\sqrt{15};4)$	$(4;4+\sqrt{15})$	$4+\sqrt{15}$	$(4+\sqrt{15};+\infty)$
+	0	-	-	0	+
$\nearrow$	0,25 max	$\searrow$	$\searrow$	15,75 min	$\nearrow$

Do tabeli wstawiono dodatkowo wartość funkcji w punktach, gdzie funkcja przyjmuje ekstremum:

$f_{max}(4-\sqrt{15})=\frac{(4-\sqrt{15})^2-1}{4-\sqrt{15}-4}=\frac{16-8\sqrt{15}+15-1}{-\sqrt{15}}=\frac{(30-8\sqrt{15})\cdot (-\sqrt{15})}{-\sqrt{15}\cdot (-\sqrt{15})}=\\ =\frac{8\cdot 15-30\sqrt{15}}{15}=\frac{\cancel{15}(8-2\sqrt{15})}{\cancel{15}}=8-2\sqrt{15}\approx 0,25\\ f_{min}(4+\sqrt{15})=\frac{(4+\sqrt{15})^2-1}{4+\sqrt{15}-4}=\frac{16+8\sqrt{15}+15-1}{\sqrt{15}}=\frac{(30+8\sqrt{15})\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}=\\ =\frac{8\cdot 15+30\sqrt{15}}{15}=\frac{\cancel{15}(8+2\sqrt{15})}{\cancel{15}}=8+2\sqrt{15}\approx 15,75$

Na podstawie powyższych danych sporządzamy szkic wykresu funkcji.

$przebieg zmienności funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$