Zadania — równania i nierówności liniowe

Znajdziesz tutaj równania i nierówności liniowe o raz układy równań i nierówności liniowych. Wszystkie zadania są z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań

\(\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}\)

nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dla jakiej wartości parametrów \(a, b, c\) układ równań

\(\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}\)

ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań

\(\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}\)

ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać układ równań

\(\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać układ równań

\(\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)

b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Znaleźć rozwiązanie graficzne równania \(3x+2y=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

Dane jest równanie: \(\sqrt{2}x+2y=1\). Dla jakich wartości parametru a para liczb \((1,a)\) spełnia to równanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

Dana jest nierówność \(5x-10y>1\). Dla jakich wartości parametru \(a\) para liczb \((-1,a)\) spełnia nierówność?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności:

a) \(-y-x\geq -1\)

b) \(2y-6x-4<0\)

c) \(y+x\geq 2y+x+1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:

półpłaszczyzna w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Rozwiązać nierówność:

a) \(\frac{1}{2}(x-1)+x\geq 5-2(x+2)\)

b) \((x-5)^2\geq (x+4)^2\)

c) \(\frac{2x-3}{5}>\frac{1-x}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Rozwiązać nierówność \(x^2+ax<(x-a)^2\) ze względu na niewiadomą \(x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

W pewnej liczbie dwucyfrowej liczba jedności jest o 4 większa od liczby dziesiątek. Znaleźć tę liczbę, jeśli wiadomo, że jest większa od 40 i mniejsza od 50.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Dziadek jest dwa razy starszy od wnuczka. Kiedy suma ich wieku przekroczy 90 lat?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22.

Rozwiązać nierówność \(2-|x+1|>3+x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23.

Rozwiązać nierówność \(|2x+1|>3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 24.

Rozwiązać równanie:

a) \(5x-3=7x+8\)

b) \(\sqrt{2}x+1=x+\sqrt{2}\)

c) \(\frac{1}{2}x-\frac{3}{7}=\frac{x}{2}-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 25.

Rozwiązać równanie \((x-2)^2=(x+2)^2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 26.

Rozwiązać równanie \(\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 27.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) rozwiązaniem równania \(x-m+1=3x-2\) jest liczba 2?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 28.

Rozwiązać równanie \(\frac{x}{m-2}+m=5\) ze względu na zmienną x.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 29.

Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 30.

Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 31.

Rozwiązać równanie \(|-3x+1|=2x+4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 32.

Rozwiązać równanie \(\frac{|x|}{3}-1=2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 33.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 34.

Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy". Jaką długość ma szczupak?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 35.

Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 36 - maturalne.

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 37 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 38 - maturalne.

Układ równań

\(\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\)

opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:

A. zbiór pusty.

B. dokładnie jeden punkt.

C. dokładnie dwa różne punkty.

D. zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 39 - maturalne.

Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\) ?

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 40 - maturalne.

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 41 - maturalne.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem

\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).

Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania.

C. cztery rozwiązania.

D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 42 - maturalne.

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

wzór

Wskaż ten układ:

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 43 - maturalne.

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(2-3x≥4\)

Zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 44 - maturalne.

Rozwiąż nierówność \(|x−1|+|x−5| \leq 10−2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 45 - maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(1-2x)}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział:

  1. \((-\infty;\frac{1}{6})\)
  2. \((-\infty;\frac{2}{3})\)
  3. \((\frac{1}{6};+\infty)\)
  4. \((\frac{2}{3};+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 46 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(3|x+2|=|x−3|+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 47 - maturalne.

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)

dla:

A. \(a=-1\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 48 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 49 - maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(2-x)}{2}-2x\geq 1\) jest przedział

A. \(\langle 0, +\infty)\)

B. \((−\infty, 0\rangle\)

C. \((−\infty, 5\rangle\)

D. \((−\infty,\frac{1}{3}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 50 - maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

Zadanie 8, matura 2021, matematyka

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 51 - maturalne.

Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 52 - maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 53 - maturalne.

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy

A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)

B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)

D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 54 - maturalne.

Rozwiąż równanie: \(|x−3|=2x+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 55 - maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\leq \frac{2-x}{3}\) jest przedział

A. \((-\infty,-4]\)

B. \((-\infty,4]\)

C. \([-4,\infty)\)

D. \([4,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 56 - maturalne.

Rozwiąż nierówność:

\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)

Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 56.

Oznaczenia

zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom podstawowy. zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom rozszerzony.

Zbiór zadań z matematyki
Zbiór wszystkich zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami.
AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.
Równania i nierówności
Nasz kurs zaczynamy od podstawowych pojęć związanych z równaniami, by następnie przejść do równań liniowych z jedną niewiadomą.

 



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.