Zadania z działu Analiza matematyczna

zadania ikona

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Analiza matematyczna". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.

1. Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu $a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}$ oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu
b) pięć początkowych wyrazów ciągu
$\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}$

2. Sporządzić wykres ciągu $wzór$

3. Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu, którego fragment wykresu został przedstawiony na ilustracji:

Wykres ciągu

4. Zbadać monotoniczność ciągu:
a)
b) $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$

5. Zbadać monotoniczność ciągu: a) $a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4$
b) $\begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}$

6. Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

7. Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

8. Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

9. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

10. Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

11. Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

12. Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

13. Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

14. Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

15. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

16. Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

17. Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

18. Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy . Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

19. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

20. Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

21. Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

22. Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

23. Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

24. Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

25. W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

26. Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

27. Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

28. Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

29. Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

30. Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

31. Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

32. Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

33. Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

34. Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

35. Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

36. Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

37. Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

38. Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

39. Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$ .

40. Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

41. Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości o 1/3 mniejszej od długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Linijką jakiej długości trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość, jeżeli najdłuższy odcinek ma długość 10 cm?

42. Obliczyć $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

43. Obliczyć $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...$

44. Rozwiązać równanie $5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10$

45. Rozwiązać równanie $1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}$

46. Dla jakich wartości parametru x szereg geometryczny jest zbieżny?

47. Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}$

48. Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

49. Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

50. Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

51. Wykazać, że funkcja $f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}$ nie ma granicy w punkcie 0.

52. Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

53. Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

54. Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

55. Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

56. Obliczyć $\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}$

57. Obliczyć $\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}$

58. Obliczyć:
a) $\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}$
b) $\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}$

59. Obliczyć $\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}$

60. Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=2
b) $f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}$ w punkcie x₀=-3

61. Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=1
b) $f(x)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie x₀=0

62. Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji $f(x)=\frac{x+|x|}{x}$ w punkcie x₀=0

63. Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
$f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}$ w punkcie x₀=-1

64. Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

65. Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

66. Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

67. Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

68. Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x²+x-1 w punkcie x₀=-1.

69. Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x² w punkcie x₀

70. Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+1}$ w punkcie x₀=0

71. Obliczyć pochodną funkcji w punkcie x₀=0

72. Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}$ w punkcie x₀=0.

73. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

74. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

75. Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

76. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

77. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

78. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

79. Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

80. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

81. Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

82. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}$

83. Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}$

84. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}$

85. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\cos^2{2x}$
b) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

86. Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

87. Rozwiąż równanie , gdzie y=x³+1.

88. Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\frac{2}{x}$ w punkcie (2,1).

89. Znaleźć równanie stycznej do krzywej $f(x)=\sin{x}$ w punkcie $(\frac{\pi}{2},1)$ .

90. Znaleźć równanie stycznej do okręgu w punkcie $(1,-\sqrt{2})$ .

91. Funkcja f określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.

92. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ .

93. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji .

94. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ .

95. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\sqrt{2}+1$ .

96. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

97. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ .

98. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

99. Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ .

100. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

101. Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

102. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}$ w przedziale <-3/2;0>.

103. Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}$

104. Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$

105. Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem . Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

106. Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

107. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

108. Zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres.

109. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}$ i naszkicować jej wykres.

110. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}$ i naszkicować jej wykres.

111. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}$ i naszkicować jej wykres.

112. Oblicz:
a) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$
b) $\int \sqrt{x}dx$

113. Oblicz:
a) $\int \sqrt[3]{x}dx$
b) $\int x^{12}dx$

114. Oblicz:
a) $\int 0dx$
b) $\int (-\frac{1}{2}\sqrt{2})dx$

115. Oblicz:
$\int{(x^3+x^2-x+2)}dx$

116. Oblicz:
$\int{8x(x-1)(x+1)}dx$

117. Oblicz:
$\int{3[(x+3)^3+1]dx}$

118. Oblicz:
$\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}$

119. Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

120. Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

121. Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

122. Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

123. Oblicz:
$A=\int{x\cos{x}dx}$

124. Oblicz:
$A=\int{(\ln{x})^3dx}$

Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:124.

© Media Nauka 2008-2018 r.