Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - obliczanie całek

Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\\ \ln{x}=u\\ \frac{1}{x}dx=du\\ A=\int{u^2du}=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Daną całkę oznaczymy przez A:

$A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

i zastosujemy metodę podstawienia:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.

$(\ln{x})'=\frac{1}{x}$

Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:

$A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}$

Stosujemy podstawienie:

$\ln{x}=u$ tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

$\frac{1}{x}dx=du$ tło

Otrzymujemy:

$A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du}$ tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Mamy więc:

$A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C$

Wracamy do zmiennej x:

$A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

Odpowiedź

$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-968

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Polecamy w naszym sklepie

kolorowe skarpetki matematyka

Kalkulatory maukowe

Rodzinna matematyka

Kubek matematyka pi

Kolorowe skarpetki 3D

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

© ® Media Nauka 2008-2020 r.