Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - obliczanie całek


Oblicz:
\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\\ \ln{x}=u\\ \frac{1}{x}dx=du\\ A=\int{u^2du}=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania szczegółowe

Daną całkę oznaczymy przez A:

A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}

i zastosujemy metodę podstawienia:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.

(\ln{x})'=\frac{1}{x}

Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:

A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}

Stosujemy podstawienie:

\ln{x}=u tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

\frac{1}{x}dx=du tło

Otrzymujemy:

A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Mamy więc:

A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C

Wracamy do zmiennej x:

A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-968

Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie całek
Oblicz
\int{2^{2x}\ln{2}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

kolorowe skarpetki matematyka
Kalkulatory maukowe
Rodzinna matematyka
Kubek matematyka pi
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.