Zadanie - obliczanie całek
Treść zadania:
Oblicz \(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\).
Rozwiązanie zadania
Daną całkę oznaczymy przez \(A\):
\(A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\)
i zastosujemy metodę podstawienia:
\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.
\((\ln{x})'=\frac{1}{x}\)
Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:
\(A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}\)
Stosujemy podstawienie:
\(\ln{x}=u\)
Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - \(dx\) oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):
\(\frac{1}{x}dx=du\)
Otrzymujemy:
\(A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du}\)
Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:
\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)Mamy więc:
\(A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C\)
Odpowiedź
\(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C\)© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-968
Zadania podobne
