Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Oblicz \(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\).

Rozwiązanie zadania

Daną całkę oznaczymy przez \(A\):

\(A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\)

i zastosujemy metodę podstawienia:

\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)

Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.

\((\ln{x})'=\frac{1}{x}\)

Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:

\(A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}\)

Stosujemy podstawienie:

\(\ln{x}=u\)

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - \(dx\) oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):

\(\frac{1}{x}dx=du\)

Otrzymujemy:

\(A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du}\)

Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:

\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

Mamy więc:

\(A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C\)

\(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadanie nr 1.

Oblicz \(\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\).

Zadanie nr 2.

Obliczyć \(\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}\).

Zadanie nr 3.

Oblicz \(\int{2^{2x}\ln{2}dx}\).