Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - obliczanie całek

Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\\ \ln{x}=u\\ \frac{1}{x}dx=du\\ A=\int{u^2du}=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Daną całkę oznaczymy przez A:

$A=\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

i zastosujemy metodę podstawienia:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

Spójrzmy na lewą stronę wzoru. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku.

$(\ln{x})'=\frac{1}{x}$

Przedstawiamy więc całkę w następującej postaci:

$A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}$

Stosujemy podstawienie:

$\ln{x}=u$ tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

$\frac{1}{x}dx=du$ tło

Otrzymujemy:

$A=\int{\ln^2{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=\int{u^2du}$ tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z jednego z podstawowych wzorów na całkowanie:

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Mamy więc:

$A=\int{u^2du}=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}u^3+C$

Wracamy do zmiennej x:

$A=\frac{1}{3}u^3+C=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

Odpowiedź

$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}=\frac{1}{3}\ln^3{x}+C$

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-968

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

© Media Nauka 2008-2018 r.