Całkowanie przez podstawienie

Całki możemy rozwiązywać stosując metodę przez podstawienie. Omówimy krok po kroku jak wykorzystać tę metodę podczas całkowania.

Jeżeli $x\in{<a;b>},\quad{}g(x)=u$ jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną i $g(x)\in{<A;B>}$ a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale <A;B>, to:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

a po scałkowaniu prawej strony należy w wyniku przedstawić u=g(x).

Mowa tu o całkowaniu przez podstawienie (zmianę zmiennej)

Przykłady

Najlepiej metodę tę próbować zrozumieć przez przykłady. Oto przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem.

Przykład

Obliczyć całkę:
$\int{\frac{2x}{x^2+2}dx$ .

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku. Pochodna mianownika ułamka daje dokładnie wartość licznika.

Stosujemy więc podstawienie:

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

Otrzymujemy więc:

$\int{\frac{2x}{x^2+2}dx=\int{\frac{2xdx}{x^2+2}}=\int{\frac{du}{u}}=\ln{|u|}+C=\ln{(x^2+2)}+C$

Wartość bezwzględną można opuścić, ponieważ wyrażenie x²+2 jest dodatnie dla każdej wartości x.

W naszym przypadku znaleźliśmy w funkcji podcałkowej dokładnie wartość pochodnej funkcji, za którą podstawialiśmy nową zmienną. Tak się nieczęsto zdarza. Jak w takim przypadku stosować podstawienie? Zobacz poniższy przykład:

Przykład

Obliczyć całkę:
$\int{x^2(x^3+1)^3dx$ .

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (x³+1) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi.

My mamy do czynienia z wartością x². Dokonujemy więc przekształcenia:

$\int{x^2(x^3+1)^3dx=\int{\frac{1}{3}\cdot{3}x^2(x^3+1)^3dx=\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx$

Stosujemy więc podstawienie:

$x^3+1=u\\$

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

Otrzymujemy więc:

$\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx=\frac{1}{3}\int{u^3du}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{12}(x^3+1)^4+C$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona - definicja, obliczanie całek, podstawowe wzory.

Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to: \int{udv}=uv-\int{vdu}. To metoda całkowania przez części.

Test wiedzy