Całkowanie przez podstawienie
Całki możemy rozwiązywać stosując metodę przez podstawienie. Omówimy krok po kroku jak wykorzystać tę metodę podczas całkowania.
Jeżeli
jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną i
a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale <A;B>, to:

a po scałkowaniu prawej strony należy w wyniku przedstawić u=g(x).
Mowa tu o całkowaniu przez podstawienie (zmianę zmiennej)
Przykłady
Najlepiej metodę tę próbować zrozumieć przez przykłady. Oto przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem.
Przykład
Obliczyć całkę:.
Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku. Pochodna mianownika ułamka daje dokładnie wartość licznika.
Stosujemy więc podstawienie:
Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):
Otrzymujemy więc:
Wartość bezwzględną można opuścić, ponieważ wyrażenie x2+2 jest dodatnie dla każdej wartości x.
W naszym przypadku znaleźliśmy w funkcji podcałkowej dokładnie wartość pochodnej funkcji, za którą podstawialiśmy nową zmienną. Tak się nieczęsto zdarza. Jak w takim przypadku stosować podstawienie? Zobacz poniższy przykład:
Przykład
Obliczyć całkę:.
Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (x3+1) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi.
My mamy do czynienia z wartością x2. Dokonujemy więc przekształcenia:
Stosujemy więc podstawienie:
Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):
Otrzymujemy więc:
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Całkowanie przez podstawienie
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz
Inne zagadnienia z tej lekcji
Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to: \int{udv}=uv-\int{vdu}. To metoda całkowania przez części.
© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-965