Całkowanie przez podstawienie

Całki możemy rozwiązywać stosując metodę przez podstawienie. Omówimy krok po kroku jak wykorzystać tę metodę podczas całkowania.

Jeżeli $x\in{<a;b>},\quad{}g(x)=u$ jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną i $g(x)\in{<A;B>}$ a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale <A;B>, to:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

a po scałkowaniu prawej strony należy w wyniku przedstawić u=g(x).

Mowa tu o całkowaniu przez podstawienie (zmianę zmiennej)

Przykłady

Najlepiej metodę tę próbować zrozumieć przez przykłady. Oto przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem.

Przykład

Obliczyć całkę:
$\int{\frac{2x}{x^2+2}dx$ .

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku. Pochodna mianownika ułamka daje dokładnie wartość licznika.

Stosujemy więc podstawienie:

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

Otrzymujemy więc:

$\int{\frac{2x}{x^2+2}dx=\int{\frac{2xdx}{x^2+2}}=\int{\frac{du}{u}}=\ln{|u|}+C=\ln{(x^2+2)}+C$

Wartość bezwzględną można opuścić, ponieważ wyrażenie x²+2 jest dodatnie dla każdej wartości x.

W naszym przypadku znaleźliśmy w funkcji podcałkowej dokładnie wartość pochodnej funkcji, za którą podstawialiśmy nową zmienną. Tak się nieczęsto zdarza. Jak w takim przypadku stosować podstawienie? Zobacz poniższy przykład:

Przykład

Obliczyć całkę:
$\int{x^2(x^3+1)^3dx$ .

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (x³+1) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi.