Całkowanie przez podstawienie

Całki możemy rozwiązywać stosując metodę przez podstawienie. Omówimy krok po kroku jak wykorzystać tę metodę podczas całkowania.

Teoria Jeżeli x\in{<a;b>},\quad{}g(x)=u jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną i g(x)\in{<A;B>} a funkcja f(u) jest ciągła w przedziale <A;B>, to:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

a po scałkowaniu prawej strony należy w wyniku przedstawić u=g(x).

Mowa tu o całkowaniu przez podstawienie (zmianę zmiennej)

Przykłady

Najlepiej metodę tę próbować zrozumieć przez przykłady. Oto przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem.

Przykład Przykład

Obliczyć całkę:
\int{\frac{2x}{x^2+2}dx.

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak jest w tym przypadku. Pochodna mianownika ułamka daje dokładnie wartość licznika.

(x^2+2)'=2x

Stosujemy więc podstawienie:

x^2+2=u

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

2xdx=du

Otrzymujemy więc:

\int{\frac{2x}{x^2+2}dx=\int{\frac{2xdx}{x^2+2}}=\int{\frac{du}{u}}=\ln{|u|}+C=\ln{(x^2+2)}+C

Wartość bezwzględną można opuścić, ponieważ wyrażenie x2+2 jest dodatnie dla każdej wartości x.


W naszym przypadku znaleźliśmy w funkcji podcałkowej dokładnie wartość pochodnej funkcji, za którą podstawialiśmy nową zmienną. Tak się nieczęsto zdarza. Jak w takim przypadku stosować podstawienie? Zobacz poniższy przykład:

Przykład Przykład

Obliczyć całkę:
\int{x^2(x^3+1)^3dx.

Spójrzmy na lewą stronę wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (x3+1) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi.

(x^3+1)'=3x^2

My mamy do czynienia z wartością x2. Dokonujemy więc przekształcenia:

\int{x^2(x^3+1)^3dx=\int{\frac{1}{3}\cdot{3}x^2(x^3+1)^3dx=\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx

Stosujemy więc podstawienie:

x^3+1=u\\

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

3x^2dx=du

Otrzymujemy więc:

\frac{1}{3}\int{3x^2(x^3+1)^3dx=\frac{1}{3}\int{u^3du}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{12}(x^3+1)^4+C



© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-965


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Całkowanie przez podstawienie

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz
\int{2^{2x}\ln{2}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczonaCałka nieoznaczona
Całka nieoznaczona - definicja, obliczanie całek, podstawowe wzory.
Całkowanie przez częściCałkowanie przez części
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to: \int{udv}=uv-\int{vdu}. To metoda całkowania przez części.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.