Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod całkowania, bardzo często wykorzystywana w matematyce.

Teoria Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to prawdziwy jest wzór:

\int{udv}=uv-\int{vdu}

Opisana metoda całkowania nosi nazwę całkowania przez części. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykłady

Na poniższym przykładzie krok po kroku pokazujemy jak stosować metodę całkowania przez części.

Obliczyć całkę:
A=\int{x^3\ln{x}dx}

Przyjmujemy, że

u=\ln{x},\quad{}dv=x^3dx

Obliczamy pochodną funkcji u i wyznaczamy funkcję v (obliczając całkę):

du=\frac{1}{x}dx,\quad{}v=\int{x^3dx}=\frac{1}{4}x^4

Stosujemy wzór na całkowanie przez części:

A=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\int{\frac{1}{4}x^4\cdot{}\frac{1}{x}dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\int{x^3dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{4}x^4+C=\frac{1}{4}x^4(\ln{x}-\frac{1}{4})+C




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Całkowanie przez części

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
A=\int{x\cos{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz:
A=\int{(\ln{x})^3dx}

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona - definicja, obliczanie całek, podstawowe wzory.

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie - omówienie metody całkowania.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-970





Polecamy w naszym sklepie

BrainBox - Matematyka
Kolorowe skarpetki - smart owl - sowa
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kolorowe skarpetki Kostka
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.