Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod całkowania, bardzo często wykorzystywana w matematyce.

Teoria Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to prawdziwy jest wzór:

\int{udv}=uv-\int{vdu}

Opisana metoda całkowania nosi nazwę całkowania przez części. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykłady

Na poniższym przykładzie krok po kroku pokazujemy jak stosować metodę całkowania przez części.

Obliczyć całkę:
A=\int{x^3\ln{x}dx}

Przyjmujemy, że

u=\ln{x},\quad{}dv=x^3dx

Obliczamy pochodną funkcji u i wyznaczamy funkcję v (obliczając całkę):

du=\frac{1}{x}dx,\quad{}v=\int{x^3dx}=\frac{1}{4}x^4

Stosujemy wzór na całkowanie przez części:

A=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\int{\frac{1}{4}x^4\cdot{}\frac{1}{x}dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\int{x^3dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{4}x^4+C=\frac{1}{4}x^4(\ln{x}-\frac{1}{4})+C


© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-970






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Całkowanie przez części

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
A=\int{x\cos{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz:
A=\int{(\ln{x})^3dx}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczonaCałka nieoznaczona
Całka nieoznaczona - definicja, obliczanie całek, podstawowe wzory.
Całkowanie przez podstawienieCałkowanie przez podstawienie
Całkowanie przez podstawienie - omówienie metody całkowania.



© Media Nauka 2008-2018 r.