Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod całkowania, bardzo często wykorzystywana w matematyce.

Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to prawdziwy jest wzór:

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

Opisana metoda całkowania nosi nazwę całkowania przez części. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykłady

Na poniższym przykładzie krok po kroku pokazujemy jak stosować metodę całkowania przez części.

Obliczyć całkę:
$A=\int{x^3\ln{x}dx}$

Przyjmujemy, że

$u=\ln{x},\quad{}dv=x^3dx$

Obliczamy pochodną funkcji u i wyznaczamy funkcję v (obliczając całkę):

$du=\frac{1}{x}dx,\quad{}v=\int{x^3dx}=\frac{1}{4}x^4$

Stosujemy wzór na całkowanie przez części:

$A=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\int{\frac{1}{4}x^4\cdot{}\frac{1}{x}dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\int{x^3dx}=\ln{x}\cdot{}\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{4}x^4+C=\frac{1}{4}x^4(\ln{x}-\frac{1}{4})+C$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz:
$A=\int{x\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz:
$A=\int{(\ln{x})^3dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona - definicja, obliczanie całek, podstawowe wzory.

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie - omówienie metody całkowania.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.