Nauka » Matematyka » Całkowanie przez części

Zadanie - obliczanie całek

Oblicz:
$A=\int{x\cos{x}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{x\cos{x}dx}\\ u=x,\ dv=\cos{xdx}\\ du=dx,\ v=\int{\cos{x}dx}=\sin{x}\\ A=x\sin{x}-\int{\sin{x}dx}=x\sin{x+\cos{x}+C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:

$A=\int{x\cos{x}dx}$ tło

Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

Mamy tu iloczyn dwóch funkcji: x oraz cosx. We wzorze na całkowanie przez części jedna z funkcji pod całką to u, druga to pochodna dv:

$u=x, \ dv=\cos{x}dx$ tło

Obliczamy pochodną funkcji u i wyznaczamy funkcję v, obliczając całkę z dv (możemy tutaj pominąć stałą C):

$du=dx, \ v=\int{\cos{x}dx}=\sin{x}$

(używamy tutaj notacji "d", gdyż mamy tutaj do czynienia z różnymi funkcjami i łatwiej się nią posługiwać. Pochodną funkcji f(x)=x jest liczba 1, skoro u=x to du (pochodna funkcji u) jest równa (x)'=1, czyli dx

Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:

$A=uv-\int{vdu}=x\sin{x}-\int{\sin{x}dx}=x\sin{x}+\cos{x}+C$

Odpowiedź

$\int{x\cos{x}dx}=x\sin{x}+\cos{x}+C$

Zadania podobne

Zadanie - Obliczanie całek
Oblicz:
$A=\int{(\ln{x})^3dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.