Zadanie - Obliczanie całek

Rozwiązanie zadania uproszczone


![A=x(\ln{x})^3-3A_1=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6A_2](matematyka/wzory/zad527/4.gif)


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:



Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:

Mamy tu iloczyn funkcję u (logarytm naturalny podniesiony do trzeciej potęgi) oraz pochodną dv=dx:



Obliczamy pochodną funkcji u (pochodna funkcji złożonej) i wyznaczamy funkcję v, obliczając całkę z dv (możemy tutaj pominąć stałą C):

Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:

Otrzymaliśmy podobną całkę jak w przypadku całki, którą mamy obliczyć, jednak stopień potęgi jest o jeden mniejszy. Możemy więc tą samą metodą wykonywać dalsze obliczenia:
Obliczamy niżej tylko całkę z logarytmu naturalnego podniesionego do kwadratu:

Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części

Wstawiamy obliczone całki do naszego wzoru i otrzymujemy:
Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części
![A=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6(x\ln{x}-x)+C=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C](matematyka/wzory/zad527/14.gif)
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-972
Zadania podobne

Oblicz:

Pokaż rozwiązanie zadania