Zadanie - Obliczanie całek

Treść zadania:

Obliczyć \(A=\int{(\ln{x})^3dx}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):

\(A=\int{(\ln{x})^3dx}\)

Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:

\(\int{udv}=uv-\int{vdu}\)

Mamy tu iloczyn funkcję \(u\) (logarytm naturalny podniesiony do trzeciej potęgi) oraz pochodną \(dv\)=\(dx\):

\(u=(\ln{x})^3, \ dv=dx\)

Obliczamy pochodną funkcji \(u\) (pochodna funkcji złożonej) i wyznaczamy funkcję \(v\), obliczając całkę z \(dv\) (możemy tutaj pominąć stałą C):

\(du=3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{x}, \ v=\int{dx}=x\)

Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:

\(A=uv-\int{vdu}=x(\ln{x})^3-\int{\cancel{x}\cdot 3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{\cancel{x}}dx}=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}\)

Otrzymaliśmy podobną całkę jak w przypadku całki, którą mamy obliczyć, jednak stopień potęgi jest o jeden mniejszy. Możemy więc tą samą metodą wykonywać dalsze obliczenia:

Obliczamy niżej tylko całkę z logarytmu naturalnego podniesionego do kwadratu:

\(A_1=\int{(\ln{x})^2dx}\)

\(u=(\ln{x})^2, \ dv=dx\)

\(du=2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx, \ v=x\)

\(A_1=x(\ln{x})^2-\int{x\cdot 2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}\)

Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części

\(A_2=\int{\ln{x}dx}\)

\(u=\ln{x}, \ dv=dx\)

\(du=\frac{1}{x}dx, \ v=x\)

\(A_2=x\ln{x}-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx}=x\ln{x}-x\)

Wstawiamy obliczone całki do naszego wzoru i otrzymujemy:

Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części

\(A=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\)

\(=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6(x\ln{x}-x)+C=\)

\(=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C\)

ksiązki Odpowiedź

\(A=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C\)

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-972

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz \(A=\int{x\cos{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.