Nauka » Matematyka » Całkowanie przez części

Zadanie - Obliczanie całek

Oblicz:
$A=\int{(\ln{x})^3dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{(\ln{x})^3dx}\\ u=(\ln{x})^3,\ dv=dx\\ du=3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{x},\ v=\int{dx}=x\\ A=x(\ln{x})^3-\int{x\cdot 3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{x}dx}=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}= x(\ln{x})^3-3A_1\\ A_1=\int{(\ln{x})^2dx}\\ u=(\ln{x})^2, \ dv=dx\\ du=2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx, \ v=x$
$A_1=x(\ln{x})^2-\int{x\cdot 2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}$
$A=x(\ln{x})^3-3A_1=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6A_2$
$A_2=\int{\ln{x}dx}\\ u=\ln{x}, \ dv=dx\\ du=\frac{1}{x}, \ v=x\\ A_2=x\ln{x}-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln{x}-x$
$A=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:

$A=\int{(\ln{x})^3dx}$ tło

Zastosujemy metodę całkowania przez części, korzystając ze wzoru:

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

Mamy tu iloczyn funkcję u (logarytm naturalny podniesiony do trzeciej potęgi) oraz pochodną dv=dx:

$u=(\ln{x})^3, \ dv=dx$ tło

Obliczamy pochodną funkcji u (pochodna funkcji złożonej) i wyznaczamy funkcję v, obliczając całkę z dv (możemy tutaj pominąć stałą C):

$du=3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{x}, \ v=\int{dx}=x$

Stosujemy teraz przytoczony wyżej wzór na całkowanie przez części:

$A=uv-\int{vdu}=x(\ln{x})^3-\int{\cancel{x}\cdot 3(\ln{x})^2\cdot \frac{1}{\cancel{x}}dx}=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}$

Otrzymaliśmy podobną całkę jak w przypadku całki, którą mamy obliczyć, jednak stopień potęgi jest o jeden mniejszy. Możemy więc tą samą metodą wykonywać dalsze obliczenia:

Obliczamy niżej tylko całkę z logarytmu naturalnego podniesionego do kwadratu:

$A_1=\int{(\ln{x})^2dx}\\ u=(\ln{x})^2, \ dv=dx\\ du=2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx, \ v=x\\ A_1=x(\ln{x})^2-\int{x\cdot 2\ln{x}\cdot \frac{1}{x}dx}=x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}$

Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części

$A_2=\int{\ln{x}dx}\\ u=\ln{x}, \ dv=dx\\ du=\frac{1}{x}dx, \ v=x\\ A_2=x\ln{x}-\int{x\cdot \frac{1}{x}dx}=x\ln{x}-x$

Wstawiamy obliczone całki do naszego wzoru i otrzymujemy:

Otrzymaliśmy całkę z logarytmu i skorzystamy znów z tej samej metody całkowania przez części

$A=x(\ln{x})^3-3\int{(\ln{x})^2dx}=x(\ln{x})^3-3[x(\ln{x})^2-2\int{\ln{x}dx}]=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6\int{\ln{x}dx}=x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6(x\ln{x}-x)+C=\\ =x(\ln{x})^3-3x(\ln{x})^2+6x\ln{x}-6x+C$