Całka oznaczona

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w danym przedziale <x₁;x₂>, to różnicę funkcji pierwotnych F(x₂) i F(x₁) nazywamy całką oznaczoną dla funkcji f od x₁ do x₂.

Stosujemy zapisy i oznaczenia:

$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx = F(x_2)-F(x_1)$

lub

$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx = [F(x)]^{x_2}_{x_1}$

Powyższe zapisy możemy przeczytać następująco:

Całka oznaczona funkcji f(x) po dx w granicach x₁ do x₂ jest równa F(x) z podstawieniem x₂ od góry (górnym) i x₁ od dołu (dolnym).

Przykłady

Jeżeli potrafimy wyznaczać całki nieoznaczone, to obliczenie całki oznaczonej polega na obliczeniu różnicy wartości znalezionych funkcji pierwotnych dla wskazanych punktów przedziału. Zauważmy, że ponieważ obliczamy różnicę tych samych funkcji pierwotnych, ale w różnych punktach, stała C z funkcji pierwotnej redukuje się.

Obliczmy przykładowe całki oznaczone:

$\int_{0}^{1}2xdx = [x^2]^{1}_{0}=1^2-0^2=1\\\int_{1}^{3}x^2dx = [\frac{x^3}{3}]^{3}_{1}=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$

Własności

Wprost z definicji zachodzą następujące własności:

$\int_{x_1}^{x_1}f(x)dx = 0$

oraz

$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx = - \int_{x_2}^{x_1}f(x)dx$

Interpretacja geometryczna

Całka oznaczona jest równa polu powierzchni pod krzywą opisanej funkcją f(x) w granicach ograniczonej przedziałem <x₁;x₂> zgodnie z rysunkiem.

Z tego chociażby powody całki oznaczone znajdują zastosowanie w geometrii. Można nie tylko wyznaczyć wartość pola powierzchni ale nawet wzór na pole powierzchni wybranej figury geometrycznej. Rachunek całkowy jest wykorzystywany także w fizyce.

Kalkulator całek oznaczonych

Kalkulator
Obliczanie całki oznaczonej

Wpisz dane:

f(x) =

Dolna granica całkowania: Górna granica całkowania:
Dokładność: miejsc po przecinku

Rozwiązanie:

Granice całkowania mogą być liczbami rzeczywistymi lub wyrażeniami zawierającymi podstawowe operatory matematyczne +, -, *, / oraz stałe PI i E.
Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Oprogramowanie: Natalia Okoń