Całka nieoznaczona

Funkcja pierwotna

Jeżeli pewna funkcja f(x) jest określona w przedziale (a;b) to:

Definicja

Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale (a;b), jeżeli F'(x)=f(x) dla każdego x z tego przedziału.

Przykład

Funkcja f(x)=x³ jest funkcją pierwotną funkcji 3x² w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ (x³)'=3x². Zauważmy jednak, że funkcje x³+3, x³-100, ogólnie x³+C, gdzie C jest liczbą stałą, również są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)=3x² w zbiorze liczb rzeczywistych.

Całka nieokreślona

Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji f(x) nazywamy wyrażenie F(x)+C. Całkę funkcji f(x) oznaczamy następująco:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

C jest dowolną liczbą, F(x) - funkcją pierwotną funkcji f(x), którą nazywamy funkcją podcałkową, x nazywamy zmienną całkowania. Znak dx jest częścią symbolu całkowania i wskazuje na to, po jakiej zmiennej należy całkować funkcję podcałkową.

Przykład

$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C$ , bo $(\frac{1}{2}x^2+C)'=\frac{1}{2}\cdot 2x+0=x$
$\int \sin{2x}dx=\sin^2{x}+C$ , bo $(\sin^2{x}+C)'=2\sin{x}\cdot{}\cos{x}+0=\sin{2x}$