Całka nieoznaczona
Całka to pojęcie ogólne, które w analizie matematycznej oznacza całkę oznaczoną, nieoznaczoną lub inny rodzaj całki. Całki można sobie wyobrazić jako operacje sumowania nieskończenie wielu bardzo małych wartości. To podejście poglądowe, jednak istotna jest ścisła definicja poszczególnych całek.
Funkcja pierwotna
Jeżeli pewna funkcja f(x) jest określona w przedziale (a;b) to:
Definicja
Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale (a;b), jeżeli F'(x)=f(x) dla każdego x z tego przedziału.
Przykład
Funkcja f(x)=x3 to funkcja pierwotna w stosunku do funkcji 3x2 w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ (x3)'=3x2. Zauważmy jednak, że funkcje x3+3, x3-100, ogólnie x3+C, gdzie C jest liczbą stałą, również są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)=3x2 w zbiorze liczb rzeczywistych.
Całka nieoznaczona - definicja
Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji f(x) nazywamy wyrażenie F(x)+C. Całkę funkcji f(x) oznaczamy następująco:

C jest dowolną liczbą, F(x) - funkcją pierwotną funkcji f(x), którą nazywamy funkcją podcałkową, x nazywamy zmienną całkowania. Znak dx jest częścią symbolu całkowania i wskazuje na to, po jakiej zmiennej należy całkować funkcję podcałkową.
Przykład
, bo
, bo
W kolejnych artykułach poznamy podstawowe wzory całkowania, które ułatwią rachunek całkowy.
Całkowanie, podobnie jak obliczanie pochodnej, ma ogromne zastosowanie w fizyce, chemii, matematyce i innych naukach.
Całka nieoznaczona - wzory
W niniejszym artykule zostaną przedstawione podstawowe wzory rachunku całkowego wraz z przykładami ich stosowania:
Całka ze stałej:


Przykłady

Przykłady



Przykład






Własności całek nieoznaczonych
Obliczanie całek nieoznaczonych nie jest łatwą czynnością. Przydatne przy tym będą poniższe wzory:
Całka sumy jest równa sumie całek.
![\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}](matematyka/wzory/960/1.gif)
Przykład
Obliczymy całkę w oparciu o powyższą własność:
Dla k różnego od zera czynnik stały można wyłączyć przed znak całki.

Przykład
Obliczymy całkę w oparciu o powyższą własność:
W oparciu o powyższe dwie własności możemy całkę "rozbijać" na kilka całek kiedy mamy do czynienia z całką różnicy funkcji. Pamiętać należy, że nie możemy tego robić w przypadku, kiedy mamy do czynienia z całką iloczynu oraz całką ilorazu funkcji. W takim przypadku stosuje się inne metody rachunku całkowego, między innymi całkowanie przez części oraz metodę podstawienia, które zostaną omówione w kolejnych artykułach.
Pytania
Jakie jest zastosowanie całek w praktyce?
Jak wynika z podejścia poglądowego do zrozumienia całki, o którym piszemy na wstępie, całki można wykorzystać do obliczania pól powierzchni pod krzywą. Rachunek całkowy jest też szeroko wykorzystywany w fizyce, technice, naukach przyrodniczych i ekonomicznych.
Czy wszystkie funkcje można całkować?
Nie. Funkcja z całą pewnością jednak jest całkowalna w danym przedziale, jeżeli:
- jest w tym przedziale ciągła,
- jest w tym przedziale monotoniczna,
- jeżeli dana funkcja jest ograniczona w tym przedziale i ma w tym przedziale skończoną liczbę nieciągłości.
Wszystkie funkcje wymierne i trygonometryczne są całkowalne.
Przykładem funkcji, która nie jest całkowalna w przedziale <0;1> jest funkcja Dirichleta (określona w taki sposób, że przejmuje wartość 1 dla liczb wymiernych i 0 dla pozostałych liczb).
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Całka nieoznaczona
Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a)
b)
Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a)
b)
Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a)
b)
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
Inne zagadnienia z tej lekcji
Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x i posiadają ciągłą pochodną, to: \int{udv}=uv-\int{vdu}. To metoda całkowania przez części.
© medianauka.pl, 2010-10-09, ART-952