Nauka » Matematyka » Całka nieoznaczona

Zadanie - obliczanie całek

Oblicz:
$\int{3[(x+3)^3+1]dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\int{3[(x+3)^3+1]dx}=3\int{(x^3+9x^2+27x+28)dx}=\frac{3}{4}x^4+9x^3+\frac{81}{2}x^2+84x+C$

Wyłączamy stałą przed znak całki:

$\int{3[(x+3)^3+1]dx}=3\int{[(x+3)^3+1]dx}=$

Przekształcamy funkcję podcałkową, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$=3\int{(x^3+9x^2+27x+27+1)dx}=3\int{(x^3+9x^2+27x+28)dx}=$

Korzystamy z addytywności całki względem funkcji podcałkowej:

$\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}$

Mamy więc:

$=3\int{x^3dx}+3\int{9x^2dx}+3\int{27xdx}+3\int{28dx}=$ tło

Obliczamy każdą z całek, korzystając ze wzorów:

$\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\ \int{kdx}=kx+C$

Mamy więc:

$=3(\frac{1}{4}x^4+C_1)+3(9\cdot \frac{1}{3}x^3+C_2)+3(27\cdot \frac{1}{2}x^2+C_3)+3(28x+C_4)=\\ =\frac{3}{4}x^4+9x^3+\frac{81}{2}x^2+84x+C$ tło

Ponieważ $C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4$ są liczbami stałymi, możemy zastąpić je inną liczbą stałą:

$\int{3[(x+3)^3+1]dx}=\frac{3}{4}x^4+9x^3+\frac{81}{2}x^2+84x+C$

Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$
b) $\int \sqrt{x}dx$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a) $\int \sqrt[3]{x}dx$
b) $\int x^{12}dx$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - całka nieoznaczona
Oblicz:
a) $\int 0dx$
b) $\int (-\frac{1}{2}\sqrt{2})dx$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{(x^3+x^2-x+2)}dx$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{8x(x-1)(x+1)}dx$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania