Nauka » Matematyka » Własności całek nieoznaczonych

Zadanie - obliczanie całek

Oblicz:
$\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}=\int{(2\frac{\sqrt{x}}{x{sqrt{x}}}-2\frac{\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}})dx}=2\int{\frac{1}{x}dx}-2\int{\frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}}dx}=\\ =2\ln{|x|}+C_1-2\int{x^{-\frac{5}{4}}dx}=2\ln{|x|}+C_1-2\cdot 4x^{-\frac{1}{4}}+C_2=\\ = 2\ln{|x|}-\frac{8}{\sqrt[4]{x}}+C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyłączamy stałą przed znak całki:

$\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}=2\int{(\frac{\cancel{\sqrt{x}}}{x\cancel{sqrt{x}}}-\frac{\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}})dx}=$

Przekształcamy funkcję podcałkową, korzystając z własności potęg i pierwiastków:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

oraz korzystamy z addytywności całki względem funkcji podcałkowej:

$\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}$

Mamy więc:

$=2\int{\frac{1}{x}dx}-2\int\frac{x^{\frac{1}{4}}}{x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}}dx=2\ln{|x|}+C_1-2\int{x^{\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}}dx}=2\ln{|x|}+C_1-2\int{x^{-\frac{5}{4}}dx}=$

Obliczamy ostatnią z całek, korzystając ze wzoru:

$\int{x^n dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Mamy więc:

$=2\ln{|x|}+C_1-2\frac{x^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}+C_2=2\ln{|x|}+C_1-2\frac{x^{-\frac{1}{4}}}{-\frac{1}{4}}+C_2=2\ln{|x|}+\frac{8}{\sqrt[4]{x}}+C$