logo

Zadanie - obliczanie całek


Oblicz:
\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\\ 3x^4-5=u\\ 12x^3dx=du\\ A=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}=\frac{1}{12}\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{12}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Zastosujemy metodę podstawienia, korzystając ze wzoru:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia (3x4-5) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi, czyli x3.

(3x^4-5)'=3\cdot 4x^3-0=12x^3

My w naszej całce mamy do czynienia z wartością x3 (bez dwunastki). Dokonujemy więc przekształcenia:

A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}

Stosujemy więc podstawienie:

3x^4-5=u tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

12x^3dx=du tło

Otrzymujemy więc:

A=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{3x^4-5}\cdot 12x^3dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Mamy więc:

A=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}=\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{\cancel{12}_6}\cdot\frac{\cancel{2}}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C

Wracamy do zmiennej x:

A=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-966

Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie całek
Oblicz:
\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie całek
Oblicz
\int{2^{2x}\ln{2}dx}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Analiza matematyczna w zadaniach Krysicki włodarski
Kolorowe skarpetki Kostka
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Matematyka dla menedżerów
Kubek matematyka pi
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.