Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - obliczanie całek

Treść zadania:

Oblicz \(\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\).

Rozwiązanie zadania

Dana jest całka, którą oznaczmy literą \(A\):

\(A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\)

Zastosujemy metodę podstawienia, korzystając ze wzoru:

\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)

Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna wyrażenia \((3x^4-5)\) jest "prawie" równa pierwszemu czynnikowi, czyli \(x^3\).

\((3x^4-5)'=3\cdot 4x^3-0=12x^3\)

My w naszej całce mamy do czynienia z wartością \(x^3\)(bez dwunastki). Dokonujemy więc przekształcenia:

\(A=\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\)

Stosujemy więc podstawienie:

\(3x^4-5=u\)

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):

\(12x^3dx=du\)

Otrzymujemy więc:

\(A=\frac{1}{12}\int{12x^3\sqrt{3x^4-}dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{3x^4-5}\cdot 12x^3dx}=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}\)

Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:

\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

Mamy więc:

\(A=\frac{1}{12}\int{\sqrt{u}du}=\int{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{12}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{\cancel{12}_6}\cdot\frac{\cancel{2}}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C\)

Wracamy do zmiennej x:

\(A=\frac{1}{18}\sqrt{u^3}+C=\frac{1}{18}\sqrt{(3x^4-5)^3}+C\)