Zadanie - Obliczanie całek
Treść zadania:
Oblicz \(\int{2^{2x}\ln{2}dx}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy całkę \(A\):
\(A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\int{(2^{x})^2\ln{2}dx}\)
Skorzystamy z metody podstawienia:
\(\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}\)
Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. W tym przypadku mamy:
\((2^x)'=2^x\ln{2}\)
Stosujemy proste podstawienie:
\(2^x=u\)
Obliczamy pochodną
(Notacja "\(dx\)" oznacza pochodną względem zmiennej \(x\)):
\(2^x\ln{2}dx=du\)
Otrzymujemy:
\(A=\int{2^x\cdot 2^x\ln{2}dx}=\int{udu}\)
Teraz obliczamy całkę, korzystając ze wzoru:
\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
I otrzymujemy:
\(A=\int{udu}=\frac{u^{1+1}}{1+1}+C=\frac{1}{2}u^2+C\)
Wracamy do zmiennej \(x\), otrzymując odpowiedź:
\(A=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(2^x)^2+C=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C\)
Odpowiedź
\(\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C\)
© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-969
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
