Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - Obliczanie całek

Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}\\ 2^x=u\\ 2^x\ln{2}dx=du\\ A=\int{udu}=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}2^{2x}+C=2^{2x-1}+C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy całkę A:

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\int{(2^{x})^2\ln{2}dx}$

Skorzystamy z metody podstawienia:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. W tym przypadku mamy:

$(2^x)'=2^x\ln{2}$

Stosujemy proste podstawienie:

Obliczamy pochodną

(Notacja "dx" oznacza pochodną względem zmiennej x):

$2^x\ln{2}dx=du$ tło

Otrzymujemy:

$A=\int{2^x\cdot 2^x\ln{2}dx}=\int{udu}$ tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając ze wzoru:

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

I otrzymujemy:

$A=\int{udu}=\frac{u^{1+1}}{1+1}+C=\frac{1}{2}u^2+C$

Wracamy do zmiennej x, otrzymując odpowiedź:

$A=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(2^x)^2+C=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

Odpowiedź

$\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-969

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Polecamy w naszym sklepie

cyferki - gra - trefl

Matematyka olimpijska. Kombinatoryka

Dziwna Matematyka

kolorowe skarpetki matematyka

Kubek matematyka pi

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

© ® Media Nauka 2008-2022 r.