Nauka » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

Zadanie - Obliczanie całek

Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}\\ 2^x=u\\ 2^x\ln{2}dx=du\\ A=\int{udu}=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}2^{2x}+C=2^{2x-1}+C$

Mamy całkę A:

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\int{(2^{x})^2\ln{2}dx}$

Skorzystamy z metody podstawienia:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. W tym przypadku mamy:

$(2^x)'=2^x\ln{2}$

Stosujemy proste podstawienie:

Obliczamy pochodną

(Notacja "dx" oznacza pochodną względem zmiennej x):

$2^x\ln{2}dx=du$ tło

Otrzymujemy:

$A=\int{2^x\cdot 2^x\ln{2}dx}=\int{udu}$ tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając ze wzoru:

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

I otrzymujemy:

$A=\int{udu}=\frac{u^{1+1}}{1+1}+C=\frac{1}{2}u^2+C$

Wracamy do zmiennej x, otrzymując odpowiedź:

$A=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(2^x)^2+C=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

$\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Pokaż rozwiązanie zadania