Strona główna » Matematyka » Całkowanie przez podstawienie

zadanie

Zadanie - Obliczanie całek

Oblicz
$\int{2^{2x}\ln{2}dx}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}\\ 2^x=u\\ 2^x\ln{2}dx=du\\ A=\int{udu}=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}2^{2x}+C=2^{2x-1}+C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy całkę A:

$A=\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\int{(2^{x})^2\ln{2}dx}$

Skorzystamy z metody podstawienia:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}$

Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. W tym przypadku mamy:

$(2^x)'=2^x\ln{2}$

Stosujemy proste podstawienie:

Obliczamy pochodną

(Notacja "dx" oznacza pochodną względem zmiennej x):

$2^x\ln{2}dx=du$ tło

Otrzymujemy:

$A=\int{2^x\cdot 2^x\ln{2}dx}=\int{udu}$ tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając ze wzoru:

$\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

I otrzymujemy:

$A=\int{udu}=\frac{u^{1+1}}{1+1}+C=\frac{1}{2}u^2+C$

Wracamy do zmiennej x, otrzymując odpowiedź:

$A=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(2^x)^2+C=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

Odpowiedź

$\int{2^{2x}\ln{2}dx}=\frac{2^{2x}}{2}+C=2^{2x-1}+C$

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-969

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}$

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}$

Zadanie - obliczanie całek
Oblicz:
$\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}$

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Jeszcze krótsza historia czasu

Jeszcze krótsza historia czasu
Stephen Hawking

Kalkulator naukowy 228 funkcji MILAN

Kalkulator naukowy 228 funkcji MILAN
MILAN

Naukowa lista przebojów

Naukowa lista przebojów
Simon Flynn

Wszechświat w skorupce orzecha

Wszechświat w skorupce orzecha
Stephen Hawking

© Media Nauka 2008-2017 r.