Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - obliczanie całek


Oblicz:
\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}=\\ \sin{x}=u\\ \cos{x}dx=du\\ A=\int{3u^2du}=3\cdot \frac{1}{3}u^3+C=\sin^3{x}+C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest całka, którą oznaczmy literą A:

A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}

Zastosujemy metodę podstawienia. Wykorzystujemy w związku z tym wzór:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(u)du}

Spójrzmy na lewą stronę powyższego wzoru na całkowanie przez podstawienie. Możemy zastosować tę metodę, jeżeli znajdziemy jednocześnie pewną funkcję i jej pochodną. Tak prawie jest w tym przypadku. Pochodna funkcji sinus jest równa funkcji cosinus.

(\sin{x})'=\cos{x}

Wyjmujemy stałą przed znak całki:

A=\int{3sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}

Stosujemy więc podstawienie:

\sin{x}=u tło

Obliczamy pochodną (stosując notację z użyciem literki "d" - dx oznacza pochodną względem zmiennej x):

\cos{x}dx=du tło

Otrzymujemy więc:

A=3\int{sin^2{x}\cos{x}dx}=3\int{u^2du} tło tło tło tło

Teraz obliczamy całkę, korzystając z podstawowego wzoru:

\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Mamy więc:

A=3\int{u^2du}=3\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\cancel{3}\cdot \frac{u^3}{\cancel{3}}+C=u^3+C

Wracamy do zmiennej x:

A=u^3+C=\sin^3{x}+C

ksiązki Odpowiedź

\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}=\sin^3{x}+C

© medianauka.pl, 2010-10-10, ZAD-967





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.