Zadanie maturalne nr 7, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Wykonamy rysunki pomocnicze.

Zauważamy, że trójkąt \(AHB\) jest prostokątny. Można to sprawdzić na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

\(|AH|^2+|AB|^2=|HB|^2\)

Ponieważ \(AH\) jest przekątną ściany bocznej, będącej kwadratem, to \(|AH|=6\sqrt{2}\).

Ponieważ \(HB\) jest przekątną ściany bocznej, będącej kwadratem, to \(|HB|=6\sqrt{3}\).

\(((6\sqrt{2})^2+6^2=(6\sqrt{3})^2\)

\(3\cdot 6^2=3\cdot 6^2\)

Wykazaliśmy, że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Narysujmy go.

Na podstawie definicji sinusa kąta w trójkącie \(ABH\) mamy:

\(\sin{\angle AHB}=\frac{6}{|HB|}\)

Na podstawie definicji sinusa kąta w trójkącie \(HSP\) mamy:

\(\sin{\angle AHB}=\frac{|SP|}{|SH|}\)

Zatem:

\(\frac{6}{|HB|}=\frac{|SP|}{|SH|}\)

Ponieważ wcześniej wykazaliśmy, że \(|HB|=6\sqrt{3}\) i \(|AH|=6\sqrt{2}\), przez co \(|SH|=3\sqrt{2}\), to:

\(\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{|SP|}{3\sqrt{2}}\)

\(6\sqrt{3}\cdot |SP|=18\sqrt{2}\)

\(|SP|=3\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

\(|SP|=3\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\)

\(|SP|=\sqrt{6}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4943

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Ile osób może zagłosować, używając kulek o średnicy 1 cm, wrzucając je do urny o wymiarach 1 m x 1 m x 1 m?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Przekątna sześcianu ma długość równą \(\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego sześcianu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A. 96

B. \(24\sqrt{3}\)

C. 192

D. \(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Dany jest sześcian \(ABCDEFG\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe

A. \(a^2\)

B. \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)

C. \(\frac{3}{2}\cdot a^2\)

D. \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.