Zadania — równania i nierówności
Znajdziesz tutaj zadania z wiedzy ogólnej na temat równań i nierówności. Wszystkie zadania są z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.
Zadanie nr 1.
Znaleźć dziedzinę równania:
a) \(x=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
b) \(\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{x^2-4x+4}\)
Zadanie nr 3 - maturalne.
Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\) jest:
A. \(1\)
B. \((-1)\)
C. \(2\)
D. \((-2)\)
Zadanie nr 4 - maturalne.
Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy:
A. \((-3)\)
B. \((-1)\)
C. \(1\)
D. \(3\)
Zadanie nr 5 - maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.
\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)
Zadanie nr 6 - maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:
\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)
Zadanie nr 7 - maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1−x)>2(3x−1)−12x\) jest przedział
A. \((-\frac{5}{3},+\infty)\)
B. \((-\infty,\frac{5}{3})\)
C. \((\frac{5}{3},+\infty)\)
D. \((-\infty,-\frac{5}{3})\)
Zadanie nr 8 - maturalne.
Równanie \(x(x−2)=(x−2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\).
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).
D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=2\).
Zadanie nr 9 - maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział
A. \((-\infty; 0)\)
B. \((0; +\infty)\)
C. \((-\infty; \frac{3}{4})\)
D. \((\frac{3}{4}; +\infty)\)
Zadanie nr 10.
Rozwiąż równanie:
A. \(x+20=3x-10\)
B. \(-1=-30x+10\)
C. \(-x^2+x=-1+x\)
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 10.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
