Zadania z działu Bryły

Znajdziesz tutaj rozwiązania zadań z matematyki prezentowanych w lekcjach i artykułach z działu "Bryły". Są to wszystkie zadania opublikowane w tym dziale w naszym serwisie, włączając w to zadania maturalne.

Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)?

Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa \(9\sqrt{2}\).

Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm³?

Ile osób może zagłosować, używając kulek o średnicy 1 cm, wrzucając je do urny o wymiarach 1 m x 1 m x 1 m?

Przekątna sześcianu ma długość równą \(\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego sześcianu.

Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości \(2\sqrt{3}\).

Narysować siatkę czworościanu foremnego o objętości 5 cm³.

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.

10.

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?

11.

Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli o średnicy 18 cm.

12.

Z trzech pełnych kul, każdej o promieniu 10 cm, przelano wodę do jednej kuli o promieniu 30 cm. W jakiej części większa kula zapełni się wodą?

13.

Dany jest walec o wysokości 10 cm i promieniu podstawy 4 cm. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni.

14.

Jaki promień podstawy musi mieć naczynie w kształcie walca o wysokości 30 cm, aby zmieścić w nim 3 litry mleka?

15.

Dany jest stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

16.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

17.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

18.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

19.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

20.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A. \(\angle HOL\)

B. \(\angle OGL\)

C. \(\angle HLO\)

D. \(\angle OHL\)

21.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa:

A. \(27\pi \sqrt{3}\)

B. \(9\pi \sqrt{3}\)

C. \(18\pi\)

D. \(6\pi\)

22.

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

A. \(\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)

B. \(8^2\cdot \sqrt{3}\)

C. \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)

D. \(8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)

23.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy, pod kątem którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

24.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Krawędź boczna \(SD\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\) tego ostrosłupa.

25.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

26.

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 10

27.

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.

B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.

C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.

D. równa wysokości walca.

28.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

29.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

30.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

\(\alpha=45°\)
\(45°<\alpha <60°\)
\(\alpha >60°\)
\(\alpha =60°\)

31.

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

\(5\)
\(3\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

32.

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

A. \(\frac{5}{3\pi r^3}\)

B. \(\frac{4}{3\pi r^3}\)

C. \(\frac{2}{3\pi r^3}\)

D. \(\frac{1}{3\pi r^3}\)

33.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

34.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

35.

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy połowie wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(1\)

36.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

37.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

38.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt \(ABCD\), którego boki mają długości \(|AB|=32\) i \(|BC|=18\). Ściany boczne \(ABS\) i \(CDS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\alpha\). Ściany boczne \(BCS\) i \(ADS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\beta\) . Miary kątów \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek: \(\alpha+\beta=90°\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

39.

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A. 96

B. \(24\sqrt{3}\)

C. 192

D. \(16\sqrt{3}\)

40.

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2 . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³ .

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

A. 20 cm³

B. 30 cm³

C. 39 cm³

D. 52,5 cm³

41.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy, pod kątem którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

42.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez \(ABCD (AB||CD)\). Ramiona tego trapezu mają długości \(AD=10\) i \(BC=16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że \(tg\alpha =\frac{9}{2}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

43.

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

A. \(560\ cm^3\)

B. \(280\ cm^3\)

C. \(\frac{280}{3} cm^3\)

D. \(\frac{560}{3} cm^3\)

44.

Dany jest sześcian \(ABCDEFG\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe

A. \(a^2\)

B. \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)

C. \(\frac{3}{2}\cdot a^2\)

D. \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)

45.

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.

46.

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

A. \(15\sqrt{2}\)

B. \(45\)

C. \(5\sqrt{2}\)

D. \(10\)

47.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

48.

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Podstawą tego ostrosłupa jest

A. kwadrat.

B. pięciokąt foremny.

C. sześciokąt foremny.

D. siedmiokąt foremny.

49.

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości 6. Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Liczba odnalezionych zadań w zbiorze:49.