Zadanie maturalne nr 25, matura 2023

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to szczególny przypadek prostopadłościanu, którego podstawą jest kwadrat. Zatem łatwo obliczymy przekatną podstawy:

\(d=a\sqrt{2}=15\sqrt{2}\)

Skorzystamy z definicji cosinusa kata w trójkącie prostokątnym:

\(\cos{\alpha}=\frac{d}{l}=\frac{15\sqrt{2}}{l}\)

Z warunków zadania wymika, że \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)/. Stąd:

\(\frac{15\sqrt{2}}{l}=\frac{\sqrt{2}}{3}/:\sqrt{2}\)

\(\frac{15}{l}=\frac{1}{3}\)

\(l=45\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-07-15, ZAD-4930

Zadania podobne

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A. \(\angle HOL\)

B. \(\angle OGL\)

C. \(\angle HLO\)

D. \(\angle OHL\)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

A. \(\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)

B. \(8^2\cdot \sqrt{3}\)

C. \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)

D. \(8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy, pod kątem którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

A. \(560\ cm^3\)

B. \(280\ cm^3\)

C. \(\frac{280}{3} cm^3\)

D. \(\frac{560}{3} cm^3\)

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.