Logo Media Nauka

Graniastosłup

Co to jest graniastosłup?

Definicja Definicja

graniastosłupy

Graniastosłup jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach równoległych (płaszczyznach podstaw dolnej i górnej), a którego wszystkie krawędzie nie leżące na tych płaszczyznach (tzw. krawędzie boczne) są równoległe.

Własności graniastosłupa

Z definicji wynika, że podstawy dolna i górna graniastosłupa są figurami płaskimi równoległymi i przystającymi o bokach także równoległych. Krawędzie graniastosłupa ą równe. Ściany boczne są równoległobokami.

Ile wierzchołków ma graniastosłup?

Jeżeli graniastosłup w podstawie ma N-kąt, to taki graniastosłup ma 2N wierzchołków i 3N krawędzi oraz N+2 ścian.

Wysokość graniastosłupa

Wysokość graniastosłupa h jest to odcinek prostopadły do płaszczyzny podstaw zawarty między tymi płaszczyznami o długości równej odległości płaszczyzn podstaw.

Przekątna graniastosłupa

Przekątna graniastosłupa jest to odcinek, który łączy dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie.

przekątna graniastosłupa

Rodzaje graniastosłupów

Graniastosłup trójkątny, to taki graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt.

Graniastosłup czworokątny, to taki graniastosłup, którego podstawą jest czworokąt. Do tego rodzaju graniastosłupów zaliczamy sześcian i prostopadłościan, równoległościan.

Graniastosłup pięciokątny, to taki graniastosłup, którego podstawą jest pięciokąt.

Graniastosłup pochyły, to taki graniastosłup, którego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty, to taki graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

graniastosłup prosty i pochyły

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy, to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd.).

Pozostałe rodzaje graniastosłupów:

  • Równoległościan - graniastosłup o podstawie będącej równoległobokiem.
  • Prostopadłościan - równoległościan, którego ściany są prostokątami.
  • Sześcian - prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe.
Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa

Jak obliczyć objętość graniastosłupa?

Teoria Objętość dowolnego graniastosłupa (prostego lub pochyłego) jest równa iloczynowi pola podstawy przez wysokość.

Wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:

V=P_p\cdot h

Pole powierzchni graniastosłupa

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa?

Teoria Pole powierzchni dowolnego graniastosłupa jest równe sumie pola powierzchni podstaw Pp oraz pola powierzchni bocznej (powierzchni ścian) tego graniastosłupa (Pb).

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa jest następujący:

P=2P_p+P_b

Pytania

Ile krawędzi ma graniastosłup o 10 wierzchołkach?

Graniastosłup o 10 wierzchołkach ma w podstawie pięciokąty. Pięciokąt ma 5 krawędzi. Podstawy są dwie. Podstawy łączy ze sobą również 5 krawędzi bocznych. Zatem graniastosłup o 10 wierzchołkach ma 15 krawędzi.

Jak obliczyć pole boczne graniastosłupa?

Ściany boczne w graniastosłupie są zawsze równoległobokami. Jeżeli mamy dane krawędzie podstawy i wysokość, pole powierzchni bocznej obliczymy sumując pola wszystkich pól. Warto dodać, że pole równoległoboku obliczamy ze wzoru P=ah, gdzie h jest także wysokością graniastosłupa.

Jeżeli mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym, pole powierzchni bocznej obliczymy znając jedną z krawędzi podstawy a, mnożymy ją przez wysokość graniastosłupa i liczbę ścian bocznych.

Ile ścian ma graniastosłup prosty o N krawędziach?

Graniastosłup o N krawędziach ma N/3 wierzchołków w podstawie. Zatem liczba ścian jest równa = 2 podstawy + N/3 ścian bocznych.

Na przykład graniastosłup o 51 krawędziach ma 17-kąt w podstawie, a liczba ścian = 2 podstawy + 17 ścian bocznych = 19 ścian.


© medianauka.pl, 2011-08-04, ART-1400





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Graniastosłup

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór
Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. \frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)
B. 8^2\cdot \sqrt{3}
C. \frac{8^2\sqrt{6}}{3}
D. 8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

WielościanWielościan
Co to jest wielościan oraz wielościan foremny?
Czworościan foremnyCzworościan foremny
Definicja oraz objętości pole powierzchni czworościanu foremnego
SześcianSześcian
Sześcian jest to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe. Definicja, objętość i pole powierzchni sześcianu.
ProstopadłościanProstopadłościan
Prostopadłościan jest to graniastosłup, którego podstawy i ściany są prostokątami.
OstrosłupOstrosłup
co to jest ostrosłup, ostrosłup ścięty? Jak obliczamy objętość ostrosłupa?



© Media Nauka 2008-2018 r.