Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Wielościan

Definicja Definicja

wielościany

Wielościan jest to figura geometryczna, która:

  • jest ograniczona,
  • jest domknięta,
  • jest wypukła,
  • zawiera co najmniej jeden punkt wewnętrzny,
  • jest brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów.

Wielokąt możemy również określić używając pojęcia zamkniętej powierzchni wielościanu, która jest figurą utworzoną z wielokątów leżących w różnych płaszczyznach tak, że każdy z boków jest wspólny dla dwóch wielokątów. Każdy taki wielokąt to ściana, a boki i wierzchołki wielokąta nazywamy bokami i wierzchołkami powierzchni wielościennej. Wówczas wielościan to figura geometryczna ograniczona powierzchnią wielościenną.

Najbardziej znane wielościany to: graniastosłupy i ostrosłupy.

Siatka wielościanu jest to rozwinięcie powierzchni danego wielościanu na płaszczyźnie, po "rozcięciu" wielościanu wzdłuż odpowiednich krawędzi. Dany wielościan może mieć kilka różnych siatek. Siatki stosujemy, gdy chcemy wykonać model wielościanu.

Siatka czworościanu foremnego

siatka czworościanu foremnego

Siatka sześcianu

siatka sześcianu

Siatka graniastosłupa

siatka graniastosłupa

Wielościan foremny

Definicja Definicja

Wielościan foremny (bryła Platona) to wielościan, którego wszystkie ściany są wielokątami foremnymi, przystającymi wzajemnie, a wszystkie kąty dwuścienne utworzone przez sąsiednie ściany są równe.

Wyróżniamy następujące wielościany foremne:

  • czworościan (tetraedr),
  • sześcian (heksaedr),
  • ośmiościan (oktaedr) - posiada 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi, w narożu schodzi się cztery ścian,

    ośmiościan foremny

  • dwunastościan (dodekaedr) - posiada 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się trzy ściany,

    dwunastościan foremny

  • dwudziestościan (ikosaedr) - posiada 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się pięć ścian.

    dwudziestościan foremny

Wielościany - wzory

Tablica

Poniższa tabela zawiera przydatne wzory związane z wielościanami foremnymi:


Wielościan foremnyPromień kuli opisanejPromień kuli wpisanejObjętość wielościanu
czworościan\frac{1}{4}a\sqrt{6}\frac{1}{12}a\sqrt{6}\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}
sześcian\frac{1}{2}a\sqrt{3}\frac{1}{2}aa^3
ośmiościan\frac{1}{2}a\sqrt{2}\frac{1}{6}a\sqrt{6}\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}
dwunastościan\frac{1}{4}a\sqrt{18+6\sqrt{5}}\frac{1}{4}a\sqrt{2}\sqrt{5+\frac{11}{5}\sqrt{5}}\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})
dwudziestościan\frac{1}{4}a\sqrt{10+2\sqrt{5}}\frac{1}{12}a\sqrt{3}\sqrt{3+\sqrt{5}}\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})

ciekawostki Ciekawostki

Niektóre minerały w postaci krystalicznej przybierają formy wielościanów foremnych. Na przykład sól kuchenna ma kryształy sześcienne, ałun i fluoryt mają postać ośmiościanów.

Pytania

Co to jest wielościan gwiaździsty?

Wielościan gwiaździsty jest to wielościan, który został zbudowany z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową odpowiedników dwuwymiarowych. Bryła ta wygląda jak trójwymiarowa gwiazda.


© medianauka.pl, 2011-08-04, ART-1399







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wielościan

zadanie-ikonka Zadanie - ośmiościan foremny
Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \frac{\sqrt{2}}{3}?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ośmiościan foremny
Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa 3\sqrt{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ośmiościan foremny, dwunastościan foremny
Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - siatka osmiościanu foremnego
Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm3 ?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Czworościan foremnyCzworościan foremny
Definicja oraz objętości pole powierzchni czworościanu foremnego
SześcianSześcian
Sześcian jest to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe. Definicja, objętość i pole powierzchni sześcianu.
ProstopadłościanProstopadłościan
Prostopadłościan jest to graniastosłup, którego podstawy i ściany są prostokątami.
GraniastosłupGraniastosłup
Co to jest graniastosłup? Jakie są rodzaje graniastosłupów? Objętość i pole powierzchni graniastosłupa.
OstrosłupOstrosłup
co to jest ostrosłup, ostrosłup ścięty? Jak obliczamy objętość ostrosłupa?



© Media Nauka 2008-2018 r.