Wielościan

Wielościan jest to figura geometryczna, która:

jest ograniczona,
jest domknięta,
jest wypukła,
zawiera co najmniej jeden punkt wewnętrzny,
brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów.

wielościany

Wielościan możemy również określić, używając pojęcia zamkniętej powierzchni wielościanu, która jest figurą utworzoną z wielokątów leżących w różnych płaszczyznach tak, że każdy z boków jest wspólny dla dwóch wielokątów. Każdy taki wielokąt to ściana, a boki i wierzchołki wielokąta nazywamy bokami i wierzchołkami powierzchni wielościennej. Wówczas wielościan to figura geometryczna ograniczona powierzchnią wielościenną.

Najbardziej znane wielościany to: graniastosłupy i ostrosłupy.

Siatki wielościanów

Siatka wielościanu jest to rozwinięcie powierzchni danego wielościanu na płaszczyźnie, po "rozcięciu" wielościanu wzdłuż odpowiednich krawędzi. Dany wielościan może mieć kilka różnych siatek. Siatki stosujemy, gdy chcemy wykonać model wielościanu.

Siatki do druku w formacie PDF można znaleźć w postaci kart pracy na końcu tego artykułu.

Siatka czworościanu foremnego

siatka czworościanu foremnego

Siatka sześcianu

siatka sześcianu

Siatka graniastosłupa

siatka graniastosłupa

Wielościany foremne

Wielościan foremny (bryła Platona) to wielościan, którego wszystkie ściany są wielokątami foremnymi, przystającymi wzajemnie, a wszystkie kąty dwuścienne utworzone przez sąsiednie ściany są równe.

Wyróżniamy następujące wielościany foremne:

czworościan (tetraedr),
sześcian (heksaedr),
ośmiościan (oktaedr) - posiada 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi, w narożu schodzą się cztery ściany,
dwunastościan (dodekaedr) - posiada 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się trzy ściany,
dwudziestościan (ikosaedr) - posiada 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się pięć ścian.

Wielościany — wzory

Poniższa tabela zawiera przydatne wzory związane z wielościanami foremnymi:

Wielościan foremny	Promień kuli opisanej	Promień kuli wpisanej	Objętość wielościanu
czworościan	\(\frac{1}{4}a\sqrt{6}\)	\(\frac{1}{12}a\sqrt{6}\)	\(\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)
sześcian	\(\frac{1}{2}a\sqrt{3}\)	\(\frac{1}{2}a\)	\(a^3\)
ośmiościan	\(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\)	\(\frac{1}{6}a\sqrt{6}\)	\(\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
dwunastościan	\(\frac{1}{4}a\sqrt{18+6\sqrt{5}}\)	\(\frac{1}{4}a\sqrt{2}\sqrt{5+\frac{11}{5}\sqrt{5}}\)	\(\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)

Ciekawostki

Niektóre minerały w postaci krystalicznej przybierają formy wielościanów foremnych. Na przykład sól kuchenna ma kryształy sześcienne, ałun i fluoryt mają postać ośmiościanów.

Pytania

Co to jest wielościan gwiaździsty?

Wielościan gwiaździsty jest to bryła, która została zbudowana z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową odpowiedników dwuwymiarowych. Bryła ta wygląda jak trójwymiarowa gwiazda.

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

Wszystkie ćwiczenia z tego działu

Zaloguj się, a z rozwiązanych jajek wyklują się dziobaki. Bez logowania Twoja populacja nie przetrwa po opuszczeniu strony.

Zaloguj się

W tej lekcji czekają 4 złote jaja — otworzysz je w Planie Premium. W Premium otwierasz wszystkie ćwiczenia z dziobakiem w serwisie.

Odblokuj złote jaja

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa \(9\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm³?

Pokaż rozwiązanie zadania.

⬅️ Poprzedni Objętość

Spis treści

Ćwiczenia w kursie: 494 · zaloguj się, by śledzić postęp

Następny Czworościan foremny ➡️