Wielościan

Definicja

Wielościan jest to figura geometryczna, która:

jest ograniczona,
jest domknięta,
jest wypukła,
zawiera co najmniej jeden punkt wewnętrzny,
jest brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów.

Wielokąt możemy również określić używając pojęcia zamkniętej powierzchni wielościanu, która jest figurą utworzoną z wielokątów leżących w różnych płaszczyznach tak, że każdy z boków jest wspólny dla dwóch wielokątów. Każdy taki wielokąt to ściana, a boki i wierzchołki wielokąta nazywamy bokami i wierzchołkami powierzchni wielościennej. Wówczas wielościan to figura geometryczna ograniczona powierzchnią wielościenną.

Najbardziej znane wielościany to: graniastosłupy i ostrosłupy.

Siatka wielościanu jest to rozwinięcie powierzchni danego wielościanu na płaszczyźnie, po "rozcięciu" wielościanu wzdłuż odpowiednich krawędzi. Dany wielościan może mieć kilka różnych siatek. Siatki stosujemy, gdy chcemy wykonać model wielościanu.

Siatka czworościanu foremnego

Siatka sześcianu

Siatka graniastosłupa

Wielościan foremny

Definicja

Wielościan foremny (bryła Platona) to wielościan, którego wszystkie ściany są wielokątami foremnymi, przystającymi wzajemnie, a wszystkie kąty dwuścienne utworzone przez sąsiednie ściany są równe.

Wyróżniamy następujące wielościany foremne:

czworościan (tetraedr),
sześcian (heksaedr),
ośmiościan (oktaedr) - posiada 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi, w narożu schodzi się cztery ścian,
dwunastościan (dodekaedr) - posiada 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się trzy ściany,
dwudziestościan (ikosaedr) - posiada 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi, w narożu schodzi się pięć ścian.

Wielościany - wzory

Poniższa tabela zawiera przydatne wzory związane z wielościanami foremnymi:

Wielościan foremny	Promień kuli opisanej	Promień kuli wpisanej	Objętość wielościanu
czworościan	$\frac{1}{4}a\sqrt{6}$	$\frac{1}{12}a\sqrt{6}$	$\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}$
sześcian	$\frac{1}{2}a\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}a$
ośmiościan	$\frac{1}{2}a\sqrt{2}$	$\frac{1}{6}a\sqrt{6}$	$\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}$
dwunastościan	$\frac{1}{4}a\sqrt{18+6\sqrt{5}}$	$\frac{1}{4}a\sqrt{2}\sqrt{5+\frac{11}{5}\sqrt{5}}$	$\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})$
dwudziestościan	$\frac{1}{4}a\sqrt{10+2\sqrt{5}}$	$\frac{1}{12}a\sqrt{3}\sqrt{3+\sqrt{5}}$	$\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})$

Ciekawostki

Niektóre minerały w postaci krystalicznej przybierają formy wielościanów foremnych. Na przykład sól kuchenna ma kryształy sześcienne, ałun i fluoryt mają postać ośmiościanów.

Pytania

Co to jest wielościan gwiaździsty?

Wielościan gwiaździsty jest to wielościan, który został zbudowany z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową odpowiedników dwuwymiarowych. Bryła ta wygląda jak trójwymiarowa gwiazda.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Wielościan

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa $9\sqrt{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm³ ?

Pokaż rozwiązanie zadania.