Nauka » Matematyka » Wielościan

Zadanie - ośmiościan foremny

Oblicz pole powierzchni ośmiościanu foremnego, którego objętość jest równa $9\sqrt{2}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$V=9\sqrt{2}\\ 9\sqrt{2}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}/\cdot 3\\ 27\sqrt{2}=a^3\sqrt{2}/:\sqrt{2}\\ 27=a^3\\ a=3$
$S=8P=8\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Na pole powierzchni ośmiościanu foremnego składa się osiem trójkątów równobocznych o boki równym długości krawędzi tego ośmiościanu (patrz rysunek)

Aby wyznaczyć długość krawędzi "a", skorzystamy ze wzoru na objętość ośmiościanu foremnego, który ma następującą postać:

$V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}$

Dana jest objętość, którą podstawimy do powyższego wzoru:

$V=9\sqrt{2}\\ 9\sqrt{2}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}/\cdot 3\\ 27\sqrt{2}=a^3\sqrt{2}/:\sqrt{2}\\ 27=a^3\\ a=3$

Pole trójkąta równobocznego, a więc pole jednej ściany naszego wielościanu jest dane wzorem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Pole powierzchni całego wielościanu jest równe sumie pól powierzchni wszystkich ośmiu ścian, czyli:

$S=8P=8\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2a^2\sqrt{3}=2\cdot 9\sqrt{3}=18\sqrt{3}$

Odpowiedź

$S=18\sqrt{3}$

Zadania podobne

Zadanie - ośmiościan foremny
Jaka jest długość krawędzi ośmiościanu foremnego, jeżeli jego objętość jest równa $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ośmiościan foremny, dwunastościan foremny
Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - siatka osmiościanu foremnego
Jak wykonać siatkę ośmiościanu foremnego o objętości 1 cm³ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.