Nauka » Matematyka » Wielościan foremny

Zadanie - ośmiościan foremny, dwunastościan foremny

Ile razy więcej wody można wlać do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{V_{dwunastoscian}}{V_{osmioscian}}=\frac{\frac{1}{4}\cancel{a^3}(15+7\sqrt{5})}{\frac{1}{3}\cancel{a^3}\sqrt{2}}=\frac{3\cdot \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})}{\sqrt{2}}\approx 16,25$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Kształt naczyń będzie taki, jak ilustrują powyższe rysunki. Długości krawędzi obu wielościanów mają być takie same. Wystarczy więc porównać objętości obu figur. Objętości obliczymy ze wzoru:

$V_{osmioscian}=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\\ V_{dwunastoscian}=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})$

Aby obliczyć ile razy dana objętość jest większa od drugiej, musimy obliczyć iloraz:

$\frac{V_{dwunastoscian}}{V_{osmioscian}}=\frac{\frac{1}{4}\cancel{a^3}(15+7\sqrt{5})}{\frac{1}{3}\cancel{a^3}\sqrt{2}}=\frac{3\cdot \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\\ =\frac{\frac{3}{4}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})}{2}=\frac{3}{8}\sqrt{2}(15+7\sqrt{5})\approx 16,25$

Odpowiedź

Do naczynia w kształcie dwunastościanu foremnego można wlać 16,25 razy więcej wody niż do naczynia w kształcie ośmiościanu foremnego o takiej samej długości krawędzi.