Ostrosłup

Co to jest ostrosłup?

Definicja

Jeżeli punkty leżące w jednej płaszczyźnie $\delta$ , które wraz z punktem W leżącym poza nią określają kąt wielościenny, to iloczyn obszaru kąta wielościennego i półprzestrzeni domkniętej, mającej płaszczyznę brzegową $\delta$ i zawierającej punkt W, nazywamy ostrosłupem o podstawie i wierzchołku W.

Rysunek ilustruje ostrosłup i nazwy poszczególnych jego elementów.

Własności ostrosłupa

Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami.

Ostrosłup jest wielościanem.

Wysokość ostrosłupa h jest to odcinek poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa prostopadle do płaszczyzny podstawy.

Spodek wysokości S ostrosłupa to rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy. Jak pokazuje poniższy rysunek, spodek nie musi leżeć w obrębie podstawy ostrosłupa.

Ile krawędzi ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma 2N krawędzi. Na przykład ostrosłup, który ma pięciokąt w podstawie ma 10 krawędzi.

Ile wierzchołków ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma N+1 wierzchołków. Na przykład ostrosłup, który ma pięciokąt w podstawie ma 6 wierzchołków.

Rodzaje ostrosłupów

Ostrosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym, i tak dalej, jeżeli liczba boków podstawy wynosi odpowiednio trzy, cztery, pięć i tak dalej.

Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są trójkątami równobocznymi przystającymi do siebie.

Poniższy rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny - jest to piramida.

piramida, ostrosłup prawidłowy czworokątny

Czworościan

Ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt, to czworościan. Każda ściana może być w czworościanie uważana za podstawę. Czworościan foremny, to czworościan którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi przystającymi do siebie wzajemnie.

Objętość ostrosłupa

Jak obliczyć objętość ostrosłupa?

Objętość ostrosłupa (prostego lub pochyłego) jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy P_p i wysokości h.

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h$

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni ostrosłupa P jest równe sumie pola powierzchni podstawy P oraz pola powierzchni ścian bocznych P_b.

Wzór na pole powierzchni ostrosłupa:

Ostrosłup ścięty

Ostrosłup ścięty jest to część ostrosłupa zawarta pomiędzy podstawą tego ostrosłupa i jego przekrojem poprzecznym.

Ostrosłup może być ścięty równolegle i nierównolegle. Podstawy ostrosłupa ściętego są figurami podobnymi. Boczne ściany ostrosłupa ściętego są trapezami.

Ostrosłup ścięty jest prawidłowy(podstawą jest wielokąt foremny), jeśli powstał z ostrosłupa prawidłowego. W takim ostrosłupie ściętym ściany boczne są trapezami równoramiennymi, a wszystkie krawędzie boczne są równe.

Pole powierzchni ostrosłupa ściętego

Pole powierzchni ostrosłupa ściętego jest równe polu powierzchni podstaw tego ostrosłupa i ścian bocznych.

Objętość ostrosłupa ściętego

Jeżeli przez h oznaczymy wysokość ostrosłupa ściętego, przez B pole podstawy dolnej, b - pole podstawy górnej, to objętość ostrosłupa ściętego (równolegle) wyraża się wzorem:

$V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)$

Pytania

Ile ścian ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma N+1 ścian.

Co to jest ostrosłup prawidłowy czworokątny?

Jest to ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy. Inn nazwa tej bryły to piramida.

Jaki ostrosłup ma 101 ścian?

To ostrosłup, który ma 100-kąt w podstawie.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

rysunek

Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek

α=45°
45°<α<60°
α>60°
α=60°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

rysunek

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości |AB| = 32 i |BC| = 18. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α. Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek: α +β = 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek do zadania 34, matura 2022

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD ( AB || CD) . Ramiona tego trapezu mają długości AD = 10 i BC = 16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że tgα = 9/2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.