Logo Media Nauka

Ostrosłup

ostrosłup

Co to jest ostrosłup?

Definicja Definicja

Jeżeli punkty A_1, A_2,...,A_n leżące w jednej płaszczyźnie \delta, które wraz z punktem W leżącym poza nią określają kąt wielościenny, to iloczyn obszaru kąta wielościennego i półprzestrzeni domkniętej, mającej płaszczyznę brzegową \delta i zawierającej punkt W, nazywamy ostrosłupem o podstawie A_1, A_2,...,A_n i wierzchołku W.

Rysunek ilustruje ostrosłup i nazwy poszczególnych jego elementów.

Własności ostrosłupa

Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami.

Ostrosłup jest wielościanem.

Wysokość ostrosłupa h jest to odcinek poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa prostopadle do płaszczyzny podstawy.

Spodek wysokości S ostrosłupa to rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy. Jak pokazuje poniższy rysunek, spodek nie musi leżeć w obrębie podstawy ostrosłupa.

Ile krawędzi ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma 2N krawędzi. Na przykład ostrosłup, który ma pięciokąt w podstawie ma 10 krawędzi.

Ile wierzchołków ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma N+1 wierzchołków. Na przykład ostrosłup, który ma pięciokąt w podstawie ma 6 wierzchołków.

wysokość ostrosłupa

Rodzaje ostrosłupów

Ostrosłup nazywamy trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym, i tak dalej, jeżeli liczba boków podstawy wynosi odpowiednio trzy, cztery, pięć i tak dalej.

Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są trójkątami równobocznymi przystającymi do siebie.

Poniższy rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny - jest to piramida.

piramida, ostrosłup prawidłowy czworokątny

Czworościan

Ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt, to czworościan. Każda ściana może być w czworościanie uważana za podstawę. Czworościan foremny, to czworościan którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi przystającymi do siebie wzajemnie.

czworoscian

Objętość ostrosłupa

Jak obliczyć objętość ostrosłupa?

Teoria Objętość ostrosłupa (prostego lub pochyłego) jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy Pp i wysokości h.

Wzór na objętość ostrosłupa:

V=\frac{1}{3}P_p\cdot h

Pole powierzchni ostrosłupa

Teoria Pole powierzchni ostrosłupa P jest równe sumie pola powierzchni podstawy P oraz pola powierzchni ścian bocznych Pb.

Wzór na pole powierzchni ostrosłupa:

P=P_p+P_b

Ostrosłup ścięty

Teoria Ostrosłup ścięty jest to część ostrosłupa zawarta pomiędzy podstawą tego ostrosłupa i jego przekrojem poprzecznym.

ostrosłup ścięty

Ostrosłup może być ścięty równolegle i nierównolegle. Podstawy ostrosłupa ściętego są figurami podobnymi. Boczne ściany ostrosłupa ściętego są trapezami.

Ostrosłup ścięty jest prawidłowy(podstawą jest wielokąt foremny), jeśli powstał z ostrosłupa prawidłowego. W takim ostrosłupie ściętym ściany boczne są trapezami równoramiennymi, a wszystkie krawędzie boczne są równe.

Pole powierzchni ostrosłupa ściętego

Pole powierzchni ostrosłupa ściętego jest równe polu powierzchni podstaw tego ostrosłupa i ścian bocznych.

Objętość ostrosłupa ściętego

Objętość ostrosłupa ściętego

Jeżeli przez h oznaczymy wysokość ostrosłupa ściętego, przez B pole podstawy dolnej, b - pole podstawy górnej, to objętość ostrosłupa ściętego (równolegle) wyraża się wzorem:

V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)

Pytania

Ile ścian ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie, która jest N-kątem ma N+1 ścian.

Co to jest ostrosłup prawidłowy czworokątny?

Jest to ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy. Inn nazwa tej bryły to piramida.

Jaki ostrosłup ma 101 ścian?

To ostrosłup, który ma 100-kąt w podstawie.


© medianauka.pl, 2011-08-01, ART-1396





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Ostrosłup

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 19, matura 2014
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 20, matura 2014
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

WielościanWielościan
Co to jest wielościan oraz wielościan foremny?
Czworościan foremnyCzworościan foremny
Definicja oraz objętości pole powierzchni czworościanu foremnego
SześcianSześcian
Sześcian jest to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe. Definicja, objętość i pole powierzchni sześcianu.
ProstopadłościanProstopadłościan
Prostopadłościan jest to graniastosłup, którego podstawy i ściany są prostokątami.
GraniastosłupGraniastosłup
Co to jest graniastosłup? Jakie są rodzaje graniastosłupów? Objętość i pole powierzchni graniastosłupa.



© Media Nauka 2008-2018 r.